Интервал на сходимост за производна и интеграл

Продължаваме да работим със степенни редове. Ако искаме да намерим производната или да интегрираме, принципно можем да го направим член по член. Какво означава това? Това означава, че производната на f, f'(х) е равна на производните на всеки от тези членове. Значи това е сумата за n от 1 до безкрайност, и да видим, производната на x^n е n по х на степен (n – 1)... Мога да запиша това като х^(n – 1) цялото върху n. Тези n ще се съкратят, и това ще стане x^(n – 1). Това е производната спрямо х. По същия начин можем да интегрираме и да изчислим интеграл от f(х)dх, което ще бъде равно на някаква константа плюс – ако интегрираме това член по член – тогава това ще бъде равно на сумата за n от 1 до безкрайност. Да видим, увеличаваме степенния показател, значи става (n + 1), и после делим на това. Значи по (n + 1) по това n ето там. Това е принципният начин на работа, който ще срещаш, когато имаме степенни редове. Но сега ще навлезем малко повече в детайлите, защото това може да се направи само за стойности на х, които принадлежат на интервала на сходимост на степенния ред. А ние ще видим, че интервалите на сходимост на различните редове се различават малко. Интервалите са много близки, но е различно това, което се случва в крайните точки. Насърчавам те да спреш това видео на пауза и да видиш дали можеш да определиш интервала на сходимост за всеки от тези редове. Това е интеграл от първоначалния ред, а това е производната на първоначалния ред. Да започнем с първоначалния ред. Да определим интервала на сходимост. Можем да използваме критерия на Даламбер. Критерият на Даламбер – търсим границата, когато n клони към безкрайност на a_n + 1, което е равно на x^(n + 1) върху (n + 1), делено на a_n, което е равно на (х^n)/n. Търсим абсолютната стойност на това. Това ще бъде границата, когато n клони към безкрайност. Да видим, ако разделим това и това на х^n, това ще стане 1, а това ще стане просто х, и тогава това n ще отиде отгоре. Получаваме xn/(n + 1). И това е равно на границата, когато n клони към безкрайност, на, да видим, делим числителя и знаменателя тук на 1 върху... ако разделим числителя и знаменателя на n, ще получим х/(1 + 1/n). Колко е това? Този член става нула, така че това ще бъде равно на абсолютната стойност на х. Съгласно критерия на Даламбер този ред е сходящ, ако това тук е по-малко от 1, той е разходящ, ако това е по-голямо от 1, и не можем да направим заключение, ако е равно на 1. Значи знаем – ще го запиша. Знаем, че е сходящ, когато абсолютната стойност на х е по-малка от 1, когато това тук е по-малко от 1. Знаем, че е разходящ, когато това е по-голямо от 1, когато абсолютната стойност на х е по-голяма от 1. Ами когато абсолютната стойност на х е равна на 1? Тук критерият на Даламбер не може да ни помогне и трябва да направим допълнително изследване. Да разгледаме сценария, когато х е равно на 1. Когато х е равно на 1, този ред е равен на сумата за n от 1 до безкрайност от 1 на степен n върху n. Това ще стане просто 1/n. Това е хармоничен ред или степенен ред, в който р = 1. Видяхме в много клипове досега, че това е разходящо. Когато х е равно на 1, това е разходящо. А какво да кажем за х = –1? Когато х е равно на –1, това нещо е равно на сумата за n от 1 до безкрайност от (–1)^n върху n. Това често се нарича хармоничен ред с алтернативно редуващи се знаци. И според критерия за редове с алтернативно сменящи се знаци това всъщност е сходящо. Видяхме това в много клипове. Излиза, че интервалът на сходимост на първоначалния ред тук, интервалът на сходимост ето тук, когато х може да е по-голямо или равно на –1, или можем да кажем –1 е по-малко или равно на х, защото, когато х е –1, редът отново е сходящ, но когато х е по-малко от 1, защото точно в 1 е разходящ, така че не можем да кажем по-малко или равно на. Значи това е интервалът на сходимост на първоначалната функция. Какъв е интервалът на сходимост на ето това тук, когато намираме производната? Когато намерим производната, това е същото като х на нулева степен плюс х на първа степен, плюс х на втора степен и продължаваме до безкрайност. Сега може би разпознаваш, че това е геометричен ред с частно, равно на х. Геометричен ред с частно – често се записва като r, равно на х. Знаем, че геометричните редове са сходящи само в случай, че абсолютната стойност на частното – е сходящ само когато абсолютната стойност на частното е по-малка от 1. В този случай, когато намираме производната f'(х), тогава интервалът на сходимост е почти същият. Тук интервалът на сходимост е х между –1 и 1, но не може да бъде равно на –1. За –1 това всъщност ще е разходящо, и за 1 ще е разходящо. Обърни внимание, че тези са почти еднакви. Ако разглеждаме това като редове, центрирани около нула, радиусът на сходимост е еднакъв. Можем да отидем едно нагоре, едно надолу, едно нагоре, едно надолу. И това е общовалидно. Намерихме производни, както и интеграли. Но крайните точки на нашите интервали на сходимост могат да са различни. И за да видим това и тук, те насърчавам да използваш критерия на Даламбер, за да определиш първо – колко е... използвай критерия на Даламбер плюс условията за границите, за да определиш интервала на сходимост за примитивната функция, за този интеграл тук. Ще видиш, че радиусът на сходимост е еднакъв. Можем да отидем с едно над нулата и с едно под нулата. Трябва да сме в този интервал. Но ще видиш също, че това е сходящо за х = –1 и за х = 1. Направо ще запиша заключението. Значи интервалът... ще го напиша с жълто. Интервалът на сходимост: това горе е сходящо за –1 по-малко от х, по-малко или равно на 1. Обърни внимание, че те всички имат еднакви радиуси на сходимост, но интервалите на сходимост се различават в крайните точки. Ако искаш да докажеш това самостоятелно, те насърчавам да използваш подобна техника, като тази, която използвахме за първоначалната функция. Използвай критерий на Даламбер и ще стигнеш до извода ето тук, и после провери случаите, когато х е равно на 1 и х е равно на –1. Ще видиш, че когато х е равно на –1, се получава степенен ред с редуващи се знаци, значи това е сходящо. После, когато х е равно на 1, ще получиш степенен ред, в който знаменателят има степен, по-висока от 1, или нещо подобно на степенен ред. И можеш да установиш, че той също е сходящ в този случай.