Пример с трансформационна матрица спрямо алтернативен базис, част 2

Вече видяхме, че можем да прилагаме линейни трансформации в различни координатни системи. Трансформациите, които прилагахме преди, бяха само спрямо стандартен базис. В последното видео казах, че в стандартна координатна система, ако имаме някакъв вектор х в множеството на първообразите и приложим някаква трансформация, например с трансформационна матрица А, която е спрямо стандартния базис, тогава ще имаме това изобразяване. Умножаваме вектор х по матрицата А, и получаваме образа на вектор х при тази трансформация. В последното видео и в няколко видеа преди него, всъщност във видеото преди него, казахме, че можем да направим същото изобразяване, обаче в алтернативна координатна система. Можем да го направим в някаква координатна система спрямо някакъв базис В, и тези две изобразявания са еднакви, просто използваме различна трансформационна матрица. В последното видео ние всъщност намерихме коя е тази различна трансформационна матрица. Имахме промяна на базиса, значи имахме този базис ето тук. Всъщност ще копирам и ще поставя всичко, за да покажа какво направихме. Това беше примерът. Ще го копирам. Ще го поставя тук, поставям всички резултати, получени в предходното видео ето тук. В това последно видео казахме, че това тук е нашият базис. Това беше алтернативният базис – ще копирам и ще поставя. Това е алтернативният базис, и после имаме нашата матрица на прехода и обратната матрица на прехода. Това ще ни е полезно, така че ще го копирам и поставя. Копирам, после поставям. Копирам, поставям. Може би просто да го напиша ето тук. Но по-подходящо е да ги подредя... може би трябваше това тук да е първо, но, мисля, че разбираш идеята ми. След това искаме да напишем трансформационната матрица спрямо стандартния базис. Написах я ето тук. Всичко това е от предходната задача, ако се чудиш откъде идва. Ще копирам и ще го поставя. Копирам, поставям. Поставям това. Основната цел в предходното ни видео беше да намерим трансформационната матрица спрямо този базис ето тук. Значи матрицата D, това беше важният резултат в последното видео, която беше равна на ето това тук. Ще копирам това. Копирам и поставям. Сега имаме всички резултати на едно място. Копирам, поставям. В това видео искам да проверя дали матрицата D наистина работи, дали мога да започна с някакъв вектор х – ще го напиша ето тук. Да вземем един примерен вектор. За тази трансформация множеството на първообразите е цялото R2 – и имаме някакъв вектор х. Нека вектор х е [1; –1]. Можем да приложим трансформацията по традиционния начин и ще получим образа на вектор х при тази трансформация. Да го направим. Трансформацията на вектор х е тази матрица по вектор х. На какво е равно това? Да видим. Може би мога да го направя ето тук в този ъгъл, за да спестя място. Значи тази матрица по вектор х. Този първи член тук ще бъде 3 по 1, плюс –2 по –1, или плюс 2, нали? –2 по –1 е +2, значи имаме 3 плюс 2, което е равно на 5. После вторият член ето тук е равен на 2 по 1, плюс –2 по –1. Това дава +2, значи става 2 плюс 2, което е 4. Това е трансформацията на вектор х. А ако вектор х е дефиниран с координати... мога да кажа с координати спрямо този алтернативен базис? Ако вектор х е дефиниран с координати спрямо този базис ето тук? Правили сме това и преди. Написах ги ето там. Може би ще е удобно да ги напиша и тук. Ще копирам това. Всъщност ще копирам и двете. И двете ще са ни полезни. Копирам, поставям. Както виждаш, ако искаме да представим вектор х с координати спрямо този алтернативен базис, ние на практика умножаваме вектор х по матрицата С обратна, ето защо ще я копирам и поставя тук. Ще я копирам и после я поставям тук, за да можем да я използваме. Ако искаме да преобразуваме вектор х с координати спрямо В, взимаме вектор х и го умножаваме по матрицата С обратна. С обратна е това ето тук. Ако взема вектор х и го умножа по С обратна, получавам тази версия на вектор х. Да го направим. Значи това по това. Само ще сложа –1/3 отпред. Това е равно на –1/3 по... да видим мога ли да сметна това наум. Това ще е 1 по 1, плюс –2 по –1, което е +2. Значи ще бъде 1 плюс 2, което е равно на 3. После –2 по 1, което е –2, плюс 1 по –1, което е –1. Това е –2 минус 1, значи –3. Ако имаме –1/3 по това, вектор х с координати спрямо базиса В ще е равен на [–1;1], ето така, което всъщност е интересното в този пример. Ние един вид разменихме първия и втория елемент. Сега да видим какво става като умножим вектор х по матрицата D. Ако умножим D по х – D е нашата трансформационна матрица, когато работим с координати спрямо базиса В – да видим какво се случва. Ако умножим D по х – ще се преместя малко, за да имам повече място. Ако умножим D по х, какво получаваме? Това ще е образът на вектор х при трансформацията, дефиниран с координати спрямо базис В. На какво ще е равно това? Трябва да умножим този вектор по матрицата D. Това е –1 по –1, което е 1, плюс 0 по 1. Значи само –1 по –1, което е 1. Получаваме 0 по –1, плюс 2 по 1, което е 2 по 1 или просто 2. За да обобщим, като приемаме, че не съм допускал грешки от невнимание, това нещо тук е вектор, който трябва да е същият вектор, както ако променя базиса, ако отида от стандартния базис в базис В. Когато отиваме в тази посока, просто умножаваме този вектор по матрицата С обратна. Просто използвам тази формула ето тук. Ако имаме стандартен базис и умножим по матрицата С обратна, ще получим базис В. Да видим какво ще получим. Значи умножаваме този вектор по матрицата С обратна. Ще го направя тук, за да имам повече място. Ще умножа вектор [5;4] по матрицата С обратна. Ще имаме –1/3 по [1;–2;–2;1]. Това ще е равно на – само да напиша –1/3 опред. Имаме 1 по 5, което е 5, плюс –2 по 4, което е –8. Значи 5 минус 8. После имаме –2 по 5, което е –10, после имаме плюс 1 по 4. –2 по 5 е –10, плюс 1 по 4, което е +4. Това е равно на –1/3 по –3, а това колко е? Това е –6. Ако умножим –1/3 по него, знаците се съкращават, и получаваме 1 и 2, точно колкото искахме. Когато вземем този вектор и променим неговия базис на базис В, или променим координатната система на координатна система спрямо В, умножаваме по матрицата С обратна, и получаваме това тук. Това буквално е образът на вектор х при трансформацията, дефиниран спрямо базиса В. Направихме го, като просто умножихме по С обратна, която получихме, когато взехме версията на вектор х спрямо базиса В и го умножихме по тази матрица, която намерихме – трансформационната матрица за координатната система спрямо базис В, и я умножихме по този вектор ето тук. Получихме същия отговор. Така че няма значение дали се движим в тази посока или се движим в обратната посока. Получаваме едни и същ отговор. Това не е доказателство, но това показва, че това, което направихме в предходното видео е валидно поне в този случай, и аз всъщност избрах произволен вектор х. Можеш да провериш това, ако искаш, за други вектори. Надявам се, че си достатъчно убеден/а, че можем да направим това, че можем да променим нашия базис и да намерим трансформационна матрица за това. Показахме как става, но следва логичния въпрос: защо правим това? Всъщност някой написа коментар към предходното видео, който напълно отразява защо го правим. В момента не гледам коментара, но ако си спомням правилно, авторът цитира преподавателя си по линейна алгебра, че линейната алгебра е изкуството да се избере правилен базис. Ще го запиша тук. "Линейната алгебра е изкуството да се избере правилния базис." Или както се досещаш – правилната координатна система. А защо има правилна координатна система? Може би трябва да сложа кавички вътре в цитата. Какво означава "правилна" координатна система? Ако разгледаме оригиналната трансформационна матрица, която съответства на стандартния базис, това е добре. Получаваме [2;2]. Но ако извършим някакви операции с тази матрица, налага се да направим някакви пресмятания. И ако го правим отново и отново, ако трябва да го направим за голям брой вектори, това е каквото е. Но ако променим базиса, когато имаме нов базис, ако използваме координатна система спрямо този базис, тогава изведнъж се оказва, че трансформационната матрица е много по-проста. Тя е диагонална матрица. Когато умножаваме една диагонална матрица по нещо, буквално взимаме мащабиращите множители от първия и от втория елемент. Когато умножим тази матрица по някакъв вектор – направихме го ето тук. Когато умножим тази матрица по този вектор, буквално мащабираме първия член по –1 и мащабираме втория член по 2. Това е много по-проста операция. И можеш да кажеш, че трябваше да свършим цялата тази работа – да умножим по С обратна, за да дойдем ето тук, а после, след като получим този резултат, ще умножим по С, за да се върнем към стандартни координати, което е много повече работа, отколкото тази, която спестихме тук. Но представи си, че трябва да умножиш по D много пъти. Представи си, че трябва да умножиш D по D, по D, по D, по вектор х. Ще го кажа по следния начин: Представи си, че трябва да умножиш А по А, по А, или трябва да умножиш А 100 пъти по някакъв вектор ето тук, да умножиш А 100 пъти по някакъв вектор е много по-трудоемко, отколкото да умножиш D 100 пъти по този вектор, въпреки че имаш малко повече труд преди това да обърнеш в тази посока и после да го обърнеш отново. При много задачи, особено в компютърните науки, или в някои други случаи, в които се използва, е по-добре да се избере правилният базис. Изчисленията при много задачи стават много по-прости, ако изберем правилната координатна система.