Промяната на координатните системи помага по-лесно да намерим трансформационната матрица

Да кажем, че сме в R2. Ще направя чертеж. Ще начертая вертикалната ос, ето така. После ще начертая хоризонталната ос, ето така. Нека е даден вектор [1;2]. Този вектор изглежда ето така, 1, после 2 нагоре. Значи векторът изглежда ето така. Ще го начертая. Това е нашият вектор. Това е вектор [1;2]. Искам да направя правата, която е линейна обвивка на този вектор. Ще дефинирам някаква права L, която е равна на множеството от t по вектор [1;2], където t е произволно реално число. Това е просто една права с наклон 2, нали? Изкачваме се с 2 единици, когато се преместваме с 1 единица. Ще начертая нашата права ето така. Дотук няма нищо ново. Ще я начертая малко по-добре от това. Ето така. Продължава и насам, защото, очевидно, може да има отрицателни множители на нашия вектор, така че идва и насам. Ако разгледаш всички тези точки, които са определени от мащабираните версии на този вектор, ще получим всички точки, които лежат на тази права, ако начертаем векторите в стандартно положение. Значи това тук е нашата права. Сега искам да приложа една линейна трансформация, която представлява осева симетрия спрямо тази права. Например, ако имаме този вектор – ще го начертая ето така. Нека имаме този вектор, който определя тази точка ето тук. Ще го нарека вектор х. Искам образът на вектор х при тази трансформация да бъде неговият симетричен образ спрямо тази права. Ако отида в тази посока ето тук, искам това да бъде образът при трансформацията. Искам това да е образът на вектор х при трансформацията, който да изглежда ето така. Ще дам друг пример. Нека имаме този вектор. Ще избера един специален вектор. Нека имаме вектор, който е ортогонален на правата. Нека имаме вектор – ще го означа като v1. Да видим, вектор, който е ортогонален спрямо този вектор от правата, мога да разместя тези елементи, и да направя единия отрицателен. Значи векторът е [2; –1], и ако имам този вектор ето тук – те изглеждат ортогонални на чертежа. Ако имам вектор v2 – ще го нарека v1. Вектор v1 е равен на [2;–1]. На чертежа той изглежда ортогонален, но дори да вземем скаларното произведение на 2 по 1, плюс –1 по 2, това е равно на 0. Така че този вектор определено е ортогонален на базисния вектор, определено е ортогонален на всеки вектор от тази права. Но ако приложа трансформацията към този вектор ето тук, ще го "прехвърля" от другата страна на правата. Ще го начертая ето така. Това ще е равно на... ще изглежда ето така – ще го направя със зелено. Значи трансформацията на този вектор – просто го прехвърлям от другата страна на тази права. Това е симетричният образ спрямо правата L. Значи това е трансформацията на вектор v1, която ще бъде... ние не знаем каква е матрицата на трансформацията, и точно това е темата на днешното видео, но ако търсим трансформацията само на вектор v1, тя ще бъде отрицателната на това, значи тя ще бъде [–2;1]. Така че искам да дефинирам тази трансформация. Искам да дефинирам тази трансформация от R2 в R2. Това е осева симетрия. Значи трансформацията на някакъв вектор х е симетричният му образ спрямо – или можеш да го опишеш както желаеш – през – симетричен образ спрямо правата L. Досега, ако искахме да намерим трансформационната матрица – знаем, че това е линейна трансформация. Не е нужно да правя всички тези упражнения, но това е линейна трансформация. Но досега, когато искахме да намерим трансформационната матрица за една линейна трансформация – да кажем, че Т(х) е равно на някаква матрица 2 х 2, защото това е изобразяване от R2 в R2 – по вектор х. Досега, за да намерим матрицата А, ние казвахме, че матрицата А е равна на трансформацията, приложена към първия стандартен базисен вектор, така че трансформацията, приложена на вектор [1;0]. След това вторият вектор-стълб на А ще бъде трансформацията, приложена към вектор [0;1]. Ако работим в Rn, ще умножим това n пъти и ще имаме n базисни вектора. Виждали сме това много, много пъти. Досега, когато конструирахме тези трансформационни матрици, намирането на тези беше много лесно, но сега виждаш, че това не е чак толкова лесно. Ако имаме вектор [1;0] и искаме да намерим неговия симетричен образ спрямо правата, той ще изглежда приблизително така. Можем да го намерим, като използваме знанията си по геометрия и тригонометрия. Можем да намерим това число, можем да намерим и това число. Ако искаме да намерим симетричния образ на вектор [0;1], той ще изглежда приблизително така. Можем да го намерим, но това не е лесно. Просто ще го запиша. Това не е лесно. Бихме искали поне – искам да кажа, че ние ще го решим, ако се налага, но ако има по-лесен начин, бихме искали поне да знаем за този по-лесен начин. Може би вече се досещаш тук – ние говорихме за алтернативни координатни системи, и тази трансформация, която изглежда трудна в нашата стандартна координатна система, защото имаме осева симетрия спрямо тази права ето тук – но ако дефинираме координатна система, в която осевата симетрия спрямо тази права е по-лесна? Може би вече откриваш интересна координатна система. Ако имаме координатна система, в която v1 е един от базисните вектори, а [1;2] е другият базисен вектор? Тогава, изведнъж, поне в тази координатна система ос на симетрия няма да бъде тази наклонена права. Оста на симетрия ще бъде втората координатна ос. Това изглежда една много по-естествена трансформация. И това ни води до нещо много интересно. Да преговорим какво правихме в последните няколко урока. В последните уроци ние казахме, че ако имаме стандартна координатна система, и ако умножим вектор х по някаква матрица А, ще получим образа на вектор х при трансформацията. Видяхме това много пъти. Това е при стандартни координати. Видяхме също, че можем да променим координатите. Можем да ги преобразуваме в координати спрямо друг базис. Можем да умножим вектор х по С обратна и тогава ще получим версия на вектор х с координати спрямо някакъв друг базис, а после можем да го умножим по някаква друга матрица D. И ние видяхме – ще го запиша – видяхме, че матрицата D е равна на С обратна по А, по С. Показах това преди два или три урока, като матрицата С е матрицата на прехода. Вектор-стълбовете на матрицата С са новите базисни вектори. А матрицата С обратна е просто обратната матрица на С. Значи можем да приложим матрицата D. Тогава, ако умножим матрицата D по вектор х, дефиниран спрямо базис В, ще получим образът на вектор х при трансформацията, с координати спрямо В, значи образът на вектор х, който е дефиниран с координати спрямо базиса В. И после, знаеш, можеш да преобразуваш между тези две форми на вектора. Можеш да дойдеш насам, ако умножиш по С обратна. Можеш да дойдеш насам, ако умножиш по матрицата С. Виждали сме го няколко пъти. В този конкретен случай, който имаме сега, искам да намеря матрицата А. Аз един вид съм дефинирал трансформацията малко описателно, описах я с думи, но искам да намеря трансформационната матрица спрямо стандартния базис. Но аз току-що ти показах, че това не е лесно. Трябва да използвам доста геометрични и тригонометрични методи, за да намеря какво се случва с вектор [1;0] при осева симетрия спрямо правата, която е линейна обвивка на вектор [1;2]. Това не е лесно. А какво ще стане, ако сменим базиса? Ако сменим базиса и разгледаме един нов базис? Нека да дефинираме някакъв нов базис, където базисните вектори са векторите [2;1] и [1;2]. (Сал допуска грешка, която поправя в края на клипа; базисните вектори са [2;–1] и [1;2].) Така че можем да разглеждаме това като новата хоризонтална ос – очевидно, тя не е хоризонтална, но ако искаш да я разглеждаме така – тя ще изглежда ето така; а новата ни вертикална ос е ето така. И сега в тази нова координатна система нашата трансформация е просто осева симетрия спрямо новата вертикална ос. Може би ще бъде по-лесно да намерим матрицата D, защото това е една по-лесна трансформация в тази нова координатна система. След като намерим матрицата D, можем да намерим матрицата А. Правили сме това. Матрицата А е равна на произведението на матриците С по D, по С обратна. Показах това преди няколко урока. Да видим дали е по-лесно да намерим матрицата D. Да направим няколко опита. Да означим векторите на трансформационната матрица. Нека това е... или това са нашите базови вектори. Нека това е вектор v1. Това е същото означение, което използвах и тук. Нека базисният вектор ето тук върху правата, която е ос на симетрия, нека той да е вектор v2. Значи новата ни координатна система има базис, съдържащ векторите v1 и v2. Какво представлява вектор v1 в новия ни базис? Спомни си, че когато преминаваме към нов базис, това просто показва колко нашите координати... първата координата сега ще бъде... по колко трябва да умножим нашия пръв базов вектор, за да получим линейна комбинация от v1, и по колко да умножим втория базов вектор. Значи v1... това е равно на 1 по v1, плюс 0 по v2. Ако исках, можех да намеря матрицата С обратна и да умножа по нея, но тук е доста елементарно да се намери линейната комбинация от базовите вектори, която включва v1. Всъщност не доста, направо е супер елементарно. Вектор v1е равен на 1 по v1, плюс 0 по v2. Значи координатите на вектор v1 спрямо базиса В ще бъдат 1 по v1 плюс 0 по v 2. Добре. А каква ще е матрицата D? Да видим. Да кажем, че искаме да намерим първо матрицата D, защото ако я намерим, можем да използваме тази формула, за да намерим матрицата А. Сега нека просто матрицата D да е равна на... тя ще бъде матрица с размери 2 х 2. Това отново е изобразяване от R2 в R2. Това отново е двумерно пространство. Образите на трансформацията ще принадлежат на това двумерно пространство. Нека матрицата D да има само два вектор-стълба, d1 и d2, ето така. Колко ще е произведението на матрицата D по това? Ще го напиша по следния начин. Ще се преместя малко надолу. Искам да виждаш тази схема ето тук. Но матрицата D по първия базисен вектор с координати спрямо базиса В ще бъде равно на [d1;d2] – това са двата вектор-стълба на матрицата D – [d1;d2] по вектор v1, дефиниран с координати спрямо базиса В. Значи по вектор [1;0]. На какво ще е равно това? Това ще бъде просто линейна комбинация на тези вектор-стълбове. Това е равно на 1 по d1, плюс 0 по d2, което е просто d1, значи това е първият стълб от тази матрица. А то на какво ще е равно? Ако умножим матрицата D по вектор х с координати спрямо В, ще получим образа на вектор х при трансформацията, дефиниран с координати спрямо базиса В. Значи това ще е равно на образа на вектор v1 при трансформацията, дефиниран с координати спрямо базиса В. Ако просто заместим вектор х с версията на вектор v1 с координати спрямо В, по матрицата D, това ще е равно на образа на вектор v1 при трансформацията, дефиниран с координати спрямо В. Това е просто ето това тук. А дали знаем... Тук има няколко интересни неща. Току-що получихме, че първият стълб, като умножим матрицата D по това, трябва да е равно на това, ние току-що намерихме, че първият стълб на матрицата D, като я умножим по вектор [1;0], който е първият базисен вектор, дефиниран в собствения си базис, и ще видиш, че по принцип, когато представяме базисните вектори в техния собствен базис, те изглеждат просто като стандартни базови вектори в тази нова координатна система. Когато представим вектор [2;1] в неговия собствен базис спрямо това, той, разбира се, е 1 по v1, плюс нула по v2. Ще бъде [1;0] спрямо В. Ако представим вектор v2 в нашия нов базис, какво ще получим? Това е 0 по този вектор, плюс 1 по този вектор. Това е 0 по v1, плюс 1 по v2. Значи става [0;1]. Ще видиш, че това е общият случай. Когато разсъждаваш върху това, то е почти смехотворно очевидно, че първият базисен вектор ще бъде 1 по първия базисен вектор, плюс 0 по втория базисен вектор. Ако имаме n базисни вектори, тогава ще имаме 1 по първия базисен вектор, плюс 0 по всички останали базисни вектори. По принцип, ако имаме n-и базисен вектор, и искаме да го изразим чрез нашия базис, той ще има за координати само нули навсякъде... и защото като линейна комбинация на базиса е 1 по n-ия базисен вектор, а всички други коефициенти са нули, ще има координата 1 само в n-ия член. Така че това е общ принцип, като можем да наречем това еn, ако искаме да наречем по този начин стандартните базови вектори. Това беше малко отклонение. Просто исках да ти покажа, че това е приложимо за общия случай. И с какво ни е полезно това? Като използваме същата логика – матрицата D по този вектор е равна на този вектор, установихме, че първият стълб на матрицата D е равен на първия базисен вектор след трансформацията, който има координати спрямо базиса В. Ако искам да преработя матрицата D, мога да го направя по този начин. Първият стълб е d1, който е равен на образа при трансформацията на първия базисен вектор v1 под трансформацията, с координати спрямо базиса В. А какво е d2? Сега да направим същото нещо за вектор v2, вторият базисен вектор. Ако умножим D по втория базисен вектор v2, дефиниран с В-координати (спрямо базиса В) в новата координатна система, това е равно на d1, d2 по... какво е представянето на този вектор в новата координатна система? Това е 0 по v1, плюс 1 по v2. Значи [0;1]. Записах го ето тук. Това е [0;1]. Това ще бъде равно на 0 по d1 плюс 1 по d2, което е равно на d2. И на какво ще е равно това? Ако умножим D по някакво представяне в В-координати на вектор х, това ще ни даде представянето в В-координати на трансформацията на вектор х. Значи това ще е равно на представянето с В-координати на трансформацията на вектор v2. И ето така видяхме, че вторият стълб в матрицата D – това беше първият стълб – вторият стълб на D е ето това. Това е трансформацията на вектор v2, дадена с В-координати. Дали има по-лесен начин да намерим това в сравнение с този? Спомни, преди казвахме, че ако просто приложим трансформацията към стандартните базисни вектори, то ще получим стандартната трансформация или можем да намерим трансформационната матрица спрямо стандартния базис, а аз точно това искам да направя. Казахме, че това не е лесно. А това по-лесно ли е? Каква е трансформацията на v1? Да се върнем към оригиналното определение на трансформацията. Това v1 ето тук... Трансформацията на v1 се оказа равна на –v1. Равна е на –v1. Ако искаме да представим трансформацията на v1 с В-координати... ще го запиша ето тук. Значи трансформацията на вектор v1 при осева симетрия спрямо правата L, това просто е равно на –v1. Тава е така, защото вектор v1 е ортогонален на правата, нали? Затова го избрахме. Ако просто вземем трансформацията на този вектор, той просто минава от другата страна и имаме минус вектора. Как ще изглежда този вектор, ако приложим трансформацията и искаме да го представим с В-координати? –v1 е равно просто на –1 по v1 плюс 0 по v2. Значи координатите на вектор –v1 спрямо базиса В ще бъдат просто –1 по v1 плюс 0 по v2. Спомни си, това са просто мащабиращи коефициенти на векторите. Значи това тук е много лесно. Това ще е равно на [–1; 0], на първия стълб на D. А какъв ще е вторият стълб на D? Това е трансформацията на вектор v2. Вектор v2 е този, чиято линейна обвивка е правата. Това е вектор v2. Какво ще се случи на вектор v2, когато го трансформираме? Образът при осева симетрия на обект, лежащ върху оста на симетрия, си остава равен на първообраза. Тук нищо не се променя. Това е оста на симетрия. Можеш да си представиш, че един вид "завърташ" този вектор, но той изобщо не се променя, нали? Значи трансформацията на този вектор [1;2] ще бъде просто [1;2]. Трансформацията на вектор v2 е равна на вектор v2. Ще го запиша. Трансформацията на вектор v2 е равна на самия вектор v2. Както виждаш, избрахме тези базисни вектори, защото тяхната трансформация е много логична и естествена. Това беше много лесно. А какво да кажем за този вектор, ако искам да го представя с В-координати? Вече установихме, че вектор v2 с В-координати е [0;1]. Значи това ще бъде просто [0;1]. И сега имаме нашата трансформационна матрица D спрямо базиса В. Тя е равна на трансформацията на първия базисен вектор с координати спрямо координатната система В, т.е. първият стълб е [–1;0]. Вторият стълб е трансформацията на втория базисен вектор с координати спрямо В-координатата система, значи [0;1], или представянето с координати спрямо базиса В на трансформацията на втория базисен вектор. Понякога изказът става много завъртян. Това беше много добре. Беше лесно. Намерихме матрицата D. И сега, след като намерихме матрицата D, обърни внимание, че промяната на базиса всъщност е много логична, защото така много лесно намерихме трансформационната матрица D. И вече след като знаем коя е матрицата D, можем лесно да намерим матрицата А. Можем да намерим трансформационната матрица спрямо стандартния базис. За да го направим, трябва да намерим матриците С и С обратна. Спомни си, че матрицата С е просто матрицата на прехода. Тя съдържа базисните вектори. Това е просто матрица, чиито стълбове са базисните вектори. Това тук са нашите базисни вектори. Значи матрицата С съдържа вектор-стълбовете [2;1] и [1;2]. А колко е матрицата С обратна? С обратна е равна на... първо трябва да намерим детерминантата на С, която е 2 по 2, което е 4, значи 4 минус, 1 по 1, детерминантата е 3. После имаме 1 върху детерминантата, става 1/3... разменям местата на тези елементи. И получаваме 2 и 2, после поставяме знак минус на тези два елемента. Минус 1, минус 1. Това е матрицата С обратна. Сега вече можем да намерим матрицата А. Матрицата А е равна на... ще избера хубав цвят. Матрицата А е равна на матрицата С, която е [2;1;1;2], по матрицата D. D е [–1;0;0;1] по С обратна, която е 1/3 по [2; –1;–1;2]. Да пресметнем това. Първо да намерим произведенията на матрици с матрици. Първо да умножим тези две матрици (C и D). Какво ще получим? Ще получим матрица 2 х 2. Получаваме 2 по –1, плюс 1 по 0, което е –2. Тук имаме 2 по 0, плюс 1 по 1, което е просто 1, нали? 2 по 0, плюс 1 по 1. Тук имаме 1 по –1, плюс 2 по 0. Това е просто –1. После имаме 1 по 0, плюс 2 по 1. Това е просто 2. И сега трябва да умножим получената матрица по това тук. Ще изнеса 1/3 отпред, така че ще се тревожим за него по-късно. Сега ще умножа това по това, значи по [2;–1;–1;2]. Всичко това ще е равно на матрицата А. Ще използвам жълто. Това отново е матрица 2 х 2. Получаваме –2 по 2, което е –4. Ще го запиша, не искам да допускам грешки от невнимание. Минус 4. –2 по 2, плюс 1 по –1, значи –1. Това е този елемент ето тук. Следващият елемент е –2 по –1, което е 2, плюс 1 по 2, значи плюс 2. И последният елемент. –1 по 2 е –2, плюс 2 по –1, това е –2. Накрая имаме –1 по –1, което е 1, плюс 2 по 2. Дава 1 плюс 4. Само да проверя дали го сметнах вярно. –2 по 2 е –4, 1 по –1... да, така е. Разбира се, имаме 1/3 отпред, така че това е равно на 1/3 по матрицата. –4 минус 1 е –5, –5, 4, –4, 5. Това е равно на [–5/3; 4/3; –4/3; 5/3]. Това е трансформационната матрица А спрямо стандартния базис. Сега да проверя всичко, защото имам подозрение – защото съм решавал тази задача и преди, сега не виждам решенето пред себе си, но мисля, че получих различен отговор. Само искам да проверя дали пресметнах това вярно. Значи С, това са базисните вектори ето тук. Да видим, базисните вектори бяха векторите... първият базисен вектор беше [2;–1]. Ето откъде идва грешката ми. Първият базисен вектор беше [2;–1], а вторият базисен вектор беше вектор [2;1]. Това определено ще промени моята матрица С. Няма да промени нищо друго, защото не сме използвали тази информация никъде другаде. Значи матрицата С ще бъде 2, –1... С обратна, да видим, детерминантата ще бъде 2 по 2, което е 4, минус (–1 по 1), което е 4 плюс 1. Значи това е 5. Извинявам се за грешката си. После разменяме местата на тези два елемента. После тези два елемента стават отрицателни. Значи този елемент става отрицателен. Този елемент е положителен. Ще препиша това. Извинявам се за грешката. С обратна е [2;1;–1;2] по 1/5, а не по 1/3. Ето това променя това –1. И какво получаваме? Това ще бъде 2 минус... това тук е С обратна, значи ще бъде 2 минус 1. Това е плюс 1 и това ще бъде 5. После тук ще бъде 5, а това ще бъде +1. Това тук не се променя, всъщност ще се промени, защото С сега е 2, минус 1. Ще направя отново тази част тук, защото стана доста объркано, така че просто да се върна и да поправя става доста сложно. По-лесно е просто да умножим всичко отново. Извинявам се за това. Извинявам се, че ти загубих времето с моята грешка. Значи матрицата А е равна... ще я препиша. [2;1;–1;2], нали? (записва матрицата по редове) „[2; –1] и [1; 2] са базовите вектори. Забравих този знак минус ето тук – (посочва стария запис на матрицата А в червено) по матрицата D, [–1;0;0;1]... нашата матрица D... по 1/5 ето тук – тук записвам 1/5... по 1/5. Това е С обратна, така че ще имаме [2;1;–1;2]. И на какво ще е равно това? Първо да умножим тези две матрици. Това е 1/5 по... имаме 2 по –1, плюс 1 по 0, значи това е –2. 2 по 0, плюс 1 по 1, това е 1, нали? Значи имаме –1 по –1, плюс 2 по 0. Значи дотук просто 1. После –1 по 0, което е 0, плюс 2 по 1, което е просто 2. После умножаваме това по тази матрица, [2;–1;1;2]. На какво ще е равно това? Това ще е равно на 1/5 по –2 по 2, което е –4, плюс 1 по 1, значи плюс 1. После следващият елемент ще бъде –2 по –1, което е 2, плюс 1 по 2, което е +2. После имаме 1 по 2, което е 2, плюс 2 по 1, което е 2, нали? 1 по 2, плюс 2 по 1. После имаме 1 по –1. Имаме 1 по –1, което е –1, плюс 2 по 2, което е 4. Значи това ще бъде равно на 1/5 по... имаме –3, имаме 4, после 4 и –3. Извинявам се, плюс 3. –4, –3, после +3. Виждаш, че когато работиш с матрици, аритметиката е това, което може да те подведе. Значи матрицата А, обратно на това, което намерих преди няколко минути, е равна на [–3/5; 4/5; 4/5; 3/5], ето така. Като изключим малката аритметична грешка, която допуснах, защото не записах вярно базисните вектори, забравих да сложа един знак минус, но сега, надявам се, можеш да оцениш, че намерихме по-лесен начин да намерим трансформационната матрица А спрямо стандартния базис. Намерихме трансформационната матрица D първо в една по-логична координатна система, а после от там намерихме матрицата А. Получихме този резултат ето тук, който, надявам се, е верният отговор. Ако паметта ми не ме лъже, това е същото, което получих, когато реших задачата първия път.