Определяне на равнина в R3 с точка и нормален вектор

Да направим малка почивка от нашето систематично изграждане на основите на векторната алгебра и да разгледаме нещо, което вероятно ще срещнеш, ако например трябва да напишеш тримерна компютърна програма или трябва да разгледаш математически нещо в три измерения. Искам да разгледаме формулата за равнина в R3. Знаеш какво е равнина. Имам предвид, че живеем в тримерен свят и сме виждали равнини. Повърхността на монитора, на твоя компютърен монитор, е равнина, независимо от това под какъв ъгъл го държиш. Тук мога да начертая три измерения. Ще се опитам да го направя по-добре от това. Нека това да е оста х. Това е оста у. После това е оста z. Знаем как изглежда една равнина. Изглежда приблизително така. Чертая с произволен ъгъл и тя продължава във всички посоки. Формулата за равнина – може би вече си я срещал/а. Това е линейна функция на х, у и z. Тя е Ах + Вy + Сz = D. Ако това е графиката на тази равнина, тогава това означава, че всяка точка от тази равнина, всяка наредена тройка (х; у; z) в тази равнина удовлетворява това уравнение. Друг начин за определяне на точка, който също е толкова валиден, или за определяне на равнина, е да се даде една действителна точка от равнината. Казваме: това е точка от равнината. Нека това да е точката (х0; у0; z0). Това може да е един от примерите за точка тук, но просто казвам, че това е една точка от тази равнина. Но това само по себе си не определя равнината. Можеш да завъртиш равнината около тази точка по безброй начини. Но ако зададеш тази точка и зададеш един вектор, който е перпендикулярен на равнината – и аз мога да го начертая направо тук, но мога и да преместя вектора навсякъде. Но сега ще го начертая тук. Ако специфицирам един нормален вектор към равнината. Използвам понятие, което още не съм дефинирал, но когато казвам нормален вектор... значи n ще е нормален вектор. Което означава просто, че той е перпендикулярен към равнината. Перпендикулярен е на всичко, което лежи в равнината. Перпендикулярен е на всеки вектор от равнината. Перпендикулярен е... най-добрият начин да го формулирам, е... но ще го кажа без прецизни термини – перпендикулярен е на всичко в равнината. Значи, ако имаме някакви вектори, които лежат в тази равнина, ако имаме един вектор тук, да кажем, че той лежи в равнината. Ако си представиш равнината като парче картон, тогава жълтата стрелка, която чертая... все едно я чертая върху този картон. Тя лежи в равнината. Ако този жълт вектор, ще го нарека вектор а, ако той е някакъв произволен вектор, който лежи в равнината, и това е нормалният вектор към равнината, то от определението за векторни ъгли знаем, че този е перпендикулярен на този, тогава, и само тогава, когато скаларното произведение на векторите n и а, на тези два вектора, е равно на нула. И това важи за всеки вектор, който изберем, и който лежи в тази равнина. Да видим можем ли да използваме определението за равнина, ако можем да използваме... ще нарека това нормала, или n+... ще го направя по следния начин. Ако дефинирам n + някаква точка (х0; у0; z0), мога да отида от това към дефиниране чрез стандартно линейно уравнение, Ах + Вy + Сz = 0. Да видим има ли начин въз основа на това, което вече знаем, да го използваме и да направим това. Ще разгледаме това по следния начин: тази малка синя точка, която лежи в равнината, мога да я определя чрез позиционен вектор. Ще запиша, че някакъв позиционен вектор х0 е равен на... Ще дефинирам вектора х0 да е равен на числото х0, у0, z0. Искам да стане много ясно. Това тук определя координати, които лежат в тази равнина. Този вектор не лежи изцяло в равнината. Както го начертах тук, той започва от началото на координатната система. Това е позиционен вектор. Тук съм го начертал зад равнината. Върхът на стрелката му е в равнината. Но самият вектор не е задължително да се чертае в равнината. Тази равнина даже може да не минава през началото, докато този вектор започва от началото. Той просто специфицира някаква точка от равнината. По подобен начин ще дефинирам друг вектор. Казах, че това е някаква друга произволна точка от равнината хуz, и това, разбираш, е вярно за всяка точка от равнината. Ще дефинирам друг вектор х, и ще го дефинирам като [х; у; z]. Отново, подобно на х0, вектор х – ще го начертая ето тук. Този вектор х не лежи в равнината. Той започва от началото на координатната система. Това е позиционен вектор, който определя точка от равнината. Значи започва от началото и върви насам. Мажеш да си представиш равнината като масичка за кафе, а тези вектори са краката ѝ. Да видим ще успея ли да го начертая. Ако това е плоската повърхност на равнината, тогава векторът х0 тръгва от началото на координатната система, за да определи някаква точка от равнината. Вектор х също тръгва от началото... ще използвам различен цвят. Вектор х също тръгва от началото, за да определи някаква друга точка от равнината ето тук. Просто показах плоската равнина, така че да я виждаш отстрани. Ако си представиш, че стоиш точно върху повърхността на равнината, тогава ясно ще видиш, че тези вектори не лежат в равнината. Но като ги използвам, мога да конструирам вектор, който лежи в равнината. Как ще изглежда вектор (х – х0)? Просто чертая един триъгълник тук. х минус х0... Ще използвам това зелено. Той ще изглежда точно така. Вектор х минус вектор х0 е тази зелена отсечка. Това е х минус х0. Виждаме, че х0 плюс този вектор (х – х0) е равно на х. Ако искам да го начертая на този чертеж, ще изглежда ето така. Ще изглежда ето така. Искам да го начертая по-добре. Ще започва от тази точка от х0, точката, която се определя от вектора х0, до точката, определена от вектор х. И ще лежи в тази равнина. Значи това тук е вектор (х – х0). Знам, че този чертеж стана много претрупан, но виждаш, че този вектор определено лежи в равнината. Значи този вектор тук трябва да е перпендикулярен на n. Перпендикулярен на нашия нормален вектор. Сега, ако моят нормален вектор... нека моят нормален вектор е n. Значи този вектор е перпендикулярен на този вектор ето т ук. Той е перпендикулярен на вектор [n1; n2; n3]. Като използваме тази информация, можем ли да получим такъв израз, подобно линейно уравнение за х, у и z? Знаем, че n... ще премина на неутрален цвят. Знаем, че n... всъщност, не искам да правя това. n не е единичен вектор. Но нека да кажем, че n е перпендикулярен на това. Скаларното произведение, видяхме го ето тук. Видяхме го в предишното видео. Скаларното произведение на вектор n и на този вектор ето тук – всъщност ще го начертая. Вече начертах равнината в страничен изглед, така че мога всъщност ще начертая вектора n. Вектор n е нещо такова. Той излиза направо нагоре от равнината. Мога да я повдигна, но той винаги ще сочи точно в тази посока. Той ще е перпендикулярен на този вектор ето тук. Значи n е перпендикулярен на вектор (х – х0). Което означава, че скаларното им произведение е равно на 0. Как изглежда вектор (х – х0)? Той ще изглежда като този израз. Ако запиша единият от самите вектори, това ще е вектор [n1; n2; n3], умножен скаларно по вектор... ако взема вектор (х – х0), това е просто числото х минус числото х0. Вадим първите компоненти. И после числото у минус числото у0. И накрая числото z минус числото z0. Знаем, че всичко това ще е равно на 0, защото те са перпендикулярни. И после, ако намерим скаларното произведение тук, получаваме n1 по (х – х0) плюс n2 по (у – у0), плюс n3 по (z – z0) е равно на 0. Може да не виждаш още, но това е... трябва да го преработим алгебрично, но това е във вида Ах + Ву + Сz = D. Мисля, че допуснах грешка. Това не трябва да е нула, а трябва да е D. (Тук Сал се заблуждава. Нула е, защото е скаларно произведение) Това е общият вид на уравнението за равнина в R3. Равнина означава просто линейна повърхност в R3. Не трябваше тук да пиша 0. Значи това приема този вид. Ако не ми вярваш, можем да го направим с действителен пример. Нека да имаме... това е нормалата... дефинирам една равнина. Ако ти дам нормален вектор и ти кажа, че нормалният вектор е в точката (1; 3; –2), и ти кажа, че пресечната точка, или точката, която лежи в равнината... Не е задължително нормалният вектор да минава през точка от равнината Но нека да кажем, че имаме точка от равнината (1; 2; 3). И искам от теб да ми дадеш уравнението на тази равнина. Ще кажа, че ако взема произволна друга точка от тази равнина... ако взема произволна друга точка от тази равнина (x; у; z), която е дефинирана с този вектор, векторът, който се определя като разликата между тези двата, ще лежи в равнината. Тази точка и тази точка лежат в равнината, така че разликата между тези два вектора, този вектор ще лежи в равнината. Ще намеря разликата. Значи х – х0 е равно на [(х – 1); (у – 2); (z – 3)]. И аз твърдя, че това лежи в равнината. Този вектор лежи в равнината и е перпендикулярен на нормалния вектор. Ако намеря скаларното произведение на нормалния вектор [1; 3; –2] и този вектор, вектор [(х–1); (у – 2); (z – 3)], трябва да получа 0. Защото този вектор е перпендикулярен на всичко, което лежи в равнината. Какво получаваме? Получаваме 1 по (х – 1), което е равно на (х – 1). Плюс 3 по (у – 2). Просто намираме скаларното произведение на двата вектора. Минус 2 по (z – 3), цялото е равно на 0. Сега да го преработим алгебрично и да поразчистим малко. Получавам х – 1 плюс 3у – 6 минус 2z + 6 е равно на 0. Да видим сега. –6 и +6 се унищожават. После мога да взема това –1. Мога да добавя +1 към двете страни и получавам х + 3у – 2z... понеже прибавих 1 към двете страни, отдясно става равно на 1. И това е. Като използвах простия факт, че това е точка от тази равнина и това е нормален вектор, успях да използвам идеята, че това е нормала, или неговото скаларно произведение с всяка точка, с всеки вектор, който лежи в равнината, успях да стигна до тук. Не беше нужно да правим всичко това тук. Можеше директно да използваме тази формула ето тук. Можеше просто да кажеш, че n1 е 1 по (х – х1). Или мога да го нарека х0. Значи (х – 1) плюс, n2 е 3, по (у – 2), плюс –2 по (z – 3) е равно на 0. И после, ако само малко го преработиш алгебрично, ще стигнеш до това. Надявам се, че това ти се струва полезно. Това е много полезно, ако трябва да правиш нещо, което включва пресмятания в три измерения. И ако един ден програмираш игри, това ще е... но има и хиляди други приложения. Но това е полезно следствие от теоретичната математика, с която се занимаваме.