Определяне на ъгъла между векторите

Преди няколко урока се запознахме с понятието дължина на вектор. Това е равно на дължината. Това е нещо много хитроумно, защото бяхме свикнали с дължини в дву- и тримерни пространства, но нещата стават много по-абстрактни, когато има повече измерения. Ако този вектор има 100 компонента, поне за мен, е трудно да представя графично вектор със сто измерения. Но ние дефинирахме понятието дължина и видяхме, че то всъщност представлява скаларна величина. То е просто едно число. В това видео искам да опитам да дефинирам понятието ъгъл между вектори. Виждаш, че изграждаме векторната математика от основите, и не можем просто да кажем, че знаем какво е ъгъл, защото всичко, което знаем за ъглите, и даже за дължините, досега се отнася просто за това, което свързваме с дву- и тримерни пространства. Но в линейната алгебра разглеждаме тези понятия в многомерно пространство. Досега още не съм дефинирал какво е измерение, но мисля, че в някаква степен вече схващаш идеята. Когато се говори за едно, или две, или три измерения. Да кажем, че имаме някакъв вектор – нека да имаме два вектора, векторите а и b. Те са ненулеви вектори и принадлежат на Rn. Все още не сме дефинирали понятието ъгъл между тях, но аз ще ги начертая все пак. Ще ги начертая така, все едно са в две измерения. Това тук е вектор а. Това може би е вектор b. А този вектор тук е равен на вектор а минус вектор b. Можеш да потвърдиш това по начина, по който се учихме да събираме и да изваждаме вектори. Това е, както знаеш, край към начало. Така че вектор b + а – b е равно на вектор а, разбира се. Всичко това е правилно тук. За да дефинираме понятието ъгъл, ще построя друг триъгълник, който ще прилича много на този. Спомни си, аз правя това за нашите елементарни умове, за да можем да си го представим в две измерения. Но това не е задължително да са двумерни "животни". Всеки от тези вектори може да има по сто компонента. Ще направя друг триъгълник. Трябва да изглежда подобен. Да кажем, че изглежда така. Ще дефинирам страните на триъгълниците да са равни на дължините на всеки от тези вектори. Спомни си, дължините на всеки от тези вектори, независимо колко компоненти имат те, са просто някакви числа. Значи дължината на тази страна тук е просто дължината на вектор а. Дължината на тази страна тук е просто дължината на вектор а минус вектор b. И дължината на тази страна ето тук е равна на дължината на вектор b. Първото нещо, в което искам да се уверя, е, че можем винаги да конструираме такъв триъгълник. При какви обстоятелства не можем да конструираме такъв триъгълник? Няма да можем да конструираме такъв триъгълник, ако тази страна, ако дължината на b... ще го напиша. Това е нещо очевидно, но искам да е напълно ясно. За да дефинираме ъгъл, искам да съм напълно сигурен, че винаги мога да направя това построение. Трябва да съм сигурен, че... ще запиша причините защо не бих могъл да направя това построение. Какво ще стане, ако дължината на b е по-голяма от това, или дължината на вектор b е по-голяма от дължината на вектор а плюс дължината на вектор (а – b)? В две измерения аз никога няма да мога да построя такъв триъгълник, защото тогава тази дължина, плюс тази дължина ще бъде по-малка от тази дължина ето тук. Така че никога няма да можем да построим триъгълника. Мога да го направя с всички страни. Какво ще стане, ако тази дължина е по-голяма от една от тези страни? Или какво ще стане, ако тази дължина е по-голяма от една от тези две страни? Никога няма да мога да начертая двумерен триъгълник по този начин. Така че аз ще използвам неравенството на триъгълника, за да докажа, че всяка от тези страни е по-малка или равна на сбора от другите две страни. Мога да направя същото нещо. Искам да поясня това. Мога да покажа, че ако а по някаква причина е по-голяма от другата страна плюс b, тогава няма да мога да построя триъгълник. И последната е разбира се, ако (а – b) по някаква причина е по-дълга от една от другите две страни, тогава няма да мога да построя триъгълник с a + b. Така че трябва да покажа, че за всеки реален вектор, за всички ненулеви реални вектори, които принадлежат на Rn, никое от тези не може да се случи. Трябва да докажа, че никое от тези не може да се случи. Какво ни казва неравенството на триъгълника? Неравенството на триъгълника ни казва, че ако имаме сбор от два вектора, ако вземем дължината на сбора на два вектора, той винаги ще бъде по-малък от... като това са ненулеви вектори. Този сбор винаги ще бъде по-малък от или равен на сбора на дължините на отделните вектори. Да видим дали можем да приложим това за този триъгълник тук. Каква е дължината на вектор а? Можем да преработим вектор а. На какво е равен вектор а? Вектор а е равен на вектор b плюс вектор (а– b). Искам да кажа, че просто изразявам този вектор тук. Просто го представям като сбор от другите два вектора. Нищо особено. Не използвам неравенството на триъгълника или нещо друго. Просто използвам дефиницията за събиране на вектори. Но сега, ако сложа тук едни малки скоби, мога да приложа неравенството на триъгълника. И казвам: Знаеш ли какво? Това ще бъде, съгласно неравенството на триъгълника, което доказахме, това ще бъде по-малко от или равно на дължините на всеки от тези вектори. Вектор b плюс дължината на вектор (а – b). Така че ние знаем, че дължината на вектор а е по-малка от сбора на тази и тази. Така че не трябва да се тревожим за това. Знаем, че това не е вярно. Сега да видим b. Мога ли да представя вектор b като сбор от двата други вектора? Да, разбира се. Мога да го представя като сбор от а плюс... ще го направя по следния начин. Ако този вектор ето тук е (a – b), същият вектор в обратна посока ще бъде вектор (b – а). Значи вектор а плюс вектор (b – а). Това е равно на вектор b, можеш да го видиш ето тук. Тези ще се унищожат и тогава тук ни остава само b. Сега от неравенството на триъгълника знаем, че това е по-малко от или равно на дължината на вектор а плюс дължината на вектор (b – а). Може да кажеш: "Хей, Сал, ти работиш с вектор (b – а). Това е дължината на (а – b). Ще оставя това на теб да го докажеш въз основа на определението за дължина на вектор, но дължината на вектор (b – а) е равна на –1 по (а – b). И ще оставя самостоятелно да установиш, че тези дължини са равни. Защото всъщност... мога да оставя това, но мисля, че ти можеш да го направиш въз основа дори само на графичното им представяне, че тези вектори са равни, просто са в различни посоки. И аз трябва да внимавам с дължината, защото тя не е само в две измерения. Но се надявам, че разбираш идеята, и ще те оставя самостоятелно да докажеш, че тези дължини са равни. Така че знаем, че дължината на b е по-малка от дължините на тези двете. Така че не трябва да се тревожим за това ето тук. И накрая, (а –b). Дължината на вектор (а – b). Мога да запиша, че това е дължината на... или мога да запиша това като вектор а плюс вектор (а – b). Ако просто сложим минус (а – b) ето тук и отидем в другата посока, можем да кажем, че –b, което ще бъде в тази посока плюс а ще ни даде нашия вектор (а – b). Всъщност дори не трябва да правя това. Това е очевидно от това. Просто един вид сложих минуса в скобите. Неравенството на триъгълника, като това може да изглежда малко скучно за теб, но то наистина ни показва, че можем винаги да дефинираме обикновен равнинен триъгълник чрез тези вектори по този начин. То казва, че това е по-малко от или равно на дължината на нашия вектор плюс дължината на минус b. Току-що казах, а ти можеш да го докажеш самостоятелно, че тя е равна на дължината на b. Така че видяхме, че определено тази дължина е по-малка от тези двата. Тази дължина е определено по-малка от тези двете. И тази дължина определено е по-малка от тези двете. Нито една причина, която да ни пречи да построим триъгълник, не е налице. Така че винаги можем да построим триъгълник по този начин от произволни ненулеви вектори в Rn. Винаги можем да построим това. Сега, за да дефинираме ъгъл, ще го начертая отново ето тук. Ще начертая отново тези вектори, може би ще са малко по-големи. Това е вектор а. Това е вектор b. Ще го направя по този начин. Това тук е векторът (а – b). Казахме, че ще го дефинираме да съответства на един обикновен, прост, най-скучен триъгълник, чиито дължини са дефинирани от дължините на векторите. Значи тази страна е дължината на вектор b. Това е дължината на (а – b). А това е дължината на вектор а. Сега, когато вече знам, че винаги мога да построя такъв триъгълник, мога да се опитам да дефинирам... или всъщност ще дам дефиницията за ъгъл между два вектора. Знаем какво означава ъгъл в този случай. Това е един най-, най-обикновен геометричен триъгълник. Определението ми за ъгъл между два вектора ще бъде... Ето това се опитвам да дефинирам. Тези вектори могат да имат произволен брой компоненти, така че е трудно да се представи графично. Но аз ще дефинирам този ъгъл като съответния ъгъл в един най-обикновен триъгълник, където страните на този обикновен триъгълник са два вектора, а срещуположната страна е разликата, е дължината на разликата между тези два вектора. Това е просто определението. Дефинирам това, ъгълът между два вектора в Rn, такива, че могат да имат произволен брой компоненти, дефинирам този ъгъл като този ъгъл между две страни, двете дължини на тези вектори, които са част от този съвсем банален триъгълник. Какво мога да правя с това? Можем ли да намерим връзка между всички тези неща ето тук? Да, със сигурност. Ако си спомняш от уроците по тригонометрия, но ако не си спомняш, аз съм го доказвал тук. Имаме косинусовата теорема. Аз ще я приложа тук за произволен триъгълник, просто защото не искам да те обърквам. Ако това са страните А, В и С, а това е ъгъл тита, косинусовата теорема ни казва, че С^2 е равно на А^2 плюс В^2 минус 2АВ по косинус от тета. За мен това винаги изглежда като една по-обща питагорова теорема, защото ъгъл тета не е задължително да е прав ъгъл. Тя важи за всички ъгли. Ако ъгълът е прав, тогава този член изчезва и ни остава обикновената питагорова теорема. Доказвали сме това. Това се отнася за обикновени, банални триъгълници. За наше щастие тук имаме най-обикновен триъгълник. Да приложим косинусовата теорема за този триъгълник. Както го начертах, има съответствие. Дължината на тази страна на квадрат. Това означава дължината на вектор (а – b) на квадрат. Дължината на вектор а минус вектор b, това е просто дължината на тази страна. Просто повдигам дължината на тази страна на втора степен. Това е равно на дължината на вектор b на квадрат, плюс дължината на вектор а на квадрат, минус 2 по дължината на... ще запиша просто дължината на вектор а по дължината на вектор b, по косинус от този ъгъл ето тук. По косинус от този ъгъл. И ще дефинирам този ъгъл между тези два вектора да е равен на този ъгъл ето тук. Ако знаем този ъгъл, по определение, ще знаем и този ъгъл ето тук. Знаем, че квадрата на дължината на един вектор, когато използваме векторната дефиниция за дължина, е същото нещо като скаларното произведение на вектора по самия него. Значи скаларното произведение на вектор (а – b) по вектор (а – b). Това ще е равно на всичко това тук отдясно. Сега ще опростя лявата страна на това равенство. Скаларното произведение на вектор (а – b) по вектор (а – b) е равно на скаларното произведение на вектор а по вектор а, тези два члена, минус скаларното произведение на вектор а по вектор b. И после имаме скаларното произведение на вектор b по вектор а. Тези два члена ето тук. И после имаме скаларното произведение на –b по –b. То е равно на скаларното произведение на вектор b по вектор b. Запомни, това е само опростяване на израза от лявата страна. Мога да преработя това. Скаларното произведение на вектор а по вектор а, знаем че това е просто дължината на вектор а на квадрат. Скаларните произведения на вектор а по вектор b и на b по а са едно и също нещо, така че има два пъти това. Ето това тук, точи член тук се опростява до –2 по скаларното произведение на вектор а по вектор b. И накрая имаме скаларното произведение на вектор b по вектор b. Знаем, че това е просто дължината на вектор b на квадрат. Аз само опростих, или развих... това е по-подходящия термин. Когато отиваме от един член до три члена, не можем да кажем, че опростяваме. Само развих лявата страна и сега това трябва да е равно на дясната страна на израза за косинусовата теорема. Така че това е равно на... вместо да го преписвам, ще го копирам и ще го поставя. Какво направих току-що? Копирай, редактирай. Копирай и постави. Готово. Не знам дали си заслужаваше. Но може би спестих малко време. Значи това е равно на това тук. И сега можем да опростим. Тук имаме дължината на а на квадрат, и тук имаме дължината на а на квадрат. Изваждаме я от двете страни. Дължината на b на квадрат тук, дължината на b на квадрат там. Изваждаме я от двете страни. После какво можем да направим? Можем да разделим двете страни на –2, защото всичко друга изчезна. Този член и този член стават единични. И сега ни остана само скаларното произведение на вектор а и вектор b. Това е интересно, защото изведнъж намерихме зависимост между скаларните произведения на два вектора. Един вид се отдалечихме от дефинициите на дължините им. Но скаларното произведение на два вектора е равно на произведението на техните дължини, техните векторни дължини. А те могат да имат произволен брой компоненти. По косинус от ъгъла между двата вектора. Запомни, този ъгъл тета, казах, че е същият, както когато чертаеш тези елементарни, обикновени триъгълници. Но аз дефинирам ъгъла между тях да е същия като този. Така че мога да кажа, че това е ъгълът между тях. Очевидно, ъгъл между два вектора е трудно да се начертае, ако имаме повече от три измерения. Но сега го имаме дефиниран математически. И сега, ако ми дадеш два вектора, с помощта на тази формула, която доказахме чрез тази дефиниция ето тук, сега можем да намираме ъгъла между всеки два вектора чрез тази формула. И само да поясня – какво ще стане, ако а е... може би не става ясно от това определение, така че искам да поясня, че по определение, ако вектор а е равен на вектор b, умножен по някакво число с, където с е по-голямо от 0, то дефинираме, че ъгъл тета ще е равен на 0. Ако с е по-малко от 0, така че а е колинеарен вектор на b, но е в обратна посока, тогава ъгъл тета ще е равен на 180 градуса. И това се съгласува с това, което знаем за двумерните вектори, когато те са колинеарни, т.е. единият е мащабирана версия на другия. Това означава, че вектор а ще изглежда ето така, а вектор b ще изглежда ето така. Тогава казваме, че ъгълът е 0 градуса. А когато са в различна посоки, ще изглеждат ето така – това е случаят, когато вектор а е обратен по посока на b. Вектор а е така, а вектор b е ето така, тогава определяме ъгъла между тях като 180 градуса. Всичко друго е отлично дефинирано чрез примера с триъгълника. Трябваше да покажа този специален случай, защото не става ясно от триъгълника в тези случаи, защото един вид триъгълникът изчезва. Той се "сплесква", ако а и b са един върху друг, или ако са в противоположни посоки. Ето защо исках да направя тази странична забележка. Като използваме определението за ъгъл между вектори, можем да дефинираме перпендикулярни вектори. Можем да кажем, че перпендикулярните вектори... това е ново определение – и то няма да е революционно, но ни е нужно, понеже обобщихме нещата за вектори с произволен брой компоненти. Дефинираме перпендикулярно да означава, че ъгъл тета между... два вектора а и b са перпендикулярни, ако ъгълът между тях е 90 градуса. Можем да дефинираме това. Можем да вземем скаларното произведение на два вектора. Намираме дължините им и после можем да намерим ъгъла между тях. Ако този ъгъл е 90 градуса, можем да кажем, че те са перпендикулярни вектори. Искам да стане ясно, че това всъщност не е определено за нулевия вектор. Тази ситуация тук не е определена за нулевия вектор, защото, ако имам нулев вектор, тогава тази величина тук ще бъде 0 и после тази величина ето тук ще бъде 0. И тогава няма ясна дефиниция за ъгъла. Ако това тук е 0, става 0 е равно на 0 по косинус от тета. И ако искаш да намериш ъгъл тета, получаваш, че косинус от тета е равен на 0/0, което е неопределено. Сега можем да създадем термин, който е малко по-общ от термина перпендикулярен. Да можем да дефинираме ъгъла, включително когато говорим за перпендикулярност. Ако ъгълът между два вектора е 90 градуса, казваме по определение, че тези два вектора са перпендикулярни. Но какво ще стане, ако направим това твърдение и можем... ако ги разгледаш, ако ъгълът между два вектора е 90 градуса, какво означава това? Нека ъгъл тета да е 90 градуса. Ще направя една черта тук. Нека ъгъл тета да е 90 градуса. Какво ни казва формулата? Казва ни, че скаларното произведение на векторите а по b е равно на дължината на а по дължината на b, по косинус от 90 градуса. Колко е косинус от 90 градуса? Той е нула. Можеш да преговориш единичната окръжност, ако не знаеш това. Но това е равно на 0, така че този целият член става 0. Ако тета е равна на 90 градуса, тогава скаларното произведение на вектор а по вектор b е равно на 0. Това е друг интересен извод. Ако векторите а и b са перпендикулярни, тогава скаларното им произведение ще е равно на нула. Ако тяхното скаларно произведение е равно на 0, задължително ли е те да са перпендикулярни? Ами ако вектор а или вектор b е нулев вектор? Нулевият вектор – ще означа нулевия вектор с z. Или просто ще го начертая. Скаларното произведение на нулевия вектор с всеки друг вектор е равно на 0. Означава ли това, че нулевият вектор е перпендикулярен на всичко? Не. Защото, както казах, за нулевият вектор трябва да приложим идеята, че имаме ъгъл между два вектора, за да използваме понятието перпендикулярност. Така че не можем да използваме нулевия вектор. Не можем да кажем, че само защото скаларното произведение на два вектора е 0, то те са перпендикулярни. Това е така, защото нулевият вектор ще обърка формулата, защото ако в скаларното произведение участва нулев вектор, ъгъл Тита не може да се определи (не е дефиниран). Но ако кажем, и ние сме казали, че вектор а и вектор b са ненулеви, ако това са ненулеви вектори, тогава можем да кажем, че ако а и b са ненулеви вектори, и ако тяхното скаларно произведение е равно на 0, тогава векторите а и b са перпендикулярни. сега това е двупосочно. Ами ако имаме само това условие ето тук? Ако знаем само, че скаларното произведение на векторите а и b е нула? Това изглежда като просто, ясно условие. Има понятие за това. Обикновено тези понятия се използват като синоними, но се надявам, че сега ще разбереш разликата между тях. Можем да кажем, че ако скаларното произведение на два вектора е равно на 0, тогава казваме, че те са ортогонални. Както винаги казвам, спелуването не ми е силна страна. Но това е една елегантна идея. Това ни казва, че всички перпендикулярни вектори са ортогонални. Казва ни също, че нулевият вектор е ортогонален на всеки друг вектор. На всеки вектор, дори на себе си. Скаларното произведение на 0 по 0 е отново 0. Така че по определение е ортогонален на себе си. Така че вероятно за пръв път в твоята математическа кариера виждаш, че термините – разбираш, когато за пръв път срещаш термините перпендикулярен и ортогонален в геометрията, или може би във физиката, или някъде другаде, те сякаш винаги имат едно и също значение. Но сега ти показах една разлика, и може би може да подразниш малко твоите учители. Защото перпендикулярни могат да са само вектори, когато никой от тях не е нулев вектор. Ако скаларното им произведение е нула, можеш да кажеш, че са ортогонални. Но ако векторите са ненулеви, можеш да кажеш, че са ортогонални и перпендикулярни. Мислех, че е хубаво да ти покажа тази разлика, ако се натъкнеш на някой, който обича да те тормози с термини. Но мисля, че това също така подчертава, че изграждаме математиката от основи и трябва да внимаваме с понятията, които използваме. Трябва да сме много прецизни с определенията, които даваме. Защото, ако не сме прецизни по отношение на определенията, и надграждаме в математиката над тези основи, и правим много доказателства, но един ден можем да се изправим и да се натъкнем на странна многозначителност. И това може да е резултат от това, че не сме достатъчно прецизни, когато дефинираме значението на някои термини. Както и да е, надявам се, че това ти беше полезно. Вече можем да намираме ъгъл, или можем да определяме ъгъл между вектори, които имат произволен брой компоненти.