Умножение на вектор с число

Нека е даден някакъв вектор а, който е равен на [2;1]. Можем да го начертаем ето тук, равен е на [2;1] – започваме от началото на координатната система и се преместваме с 2 единици в хоризонтална посока и с 1 във вертикална посока и ще се окажем ето тук. Сега искам да разгледаме как можем да дефинираме умножението на този вектор а със скаларна величина (число), например, ако искаме да пресметнем 3 по вектора а, което е равно на 3 по [2;1]. 3 е просто число. Един от начините да разглеждаме една скаларна величина е просто като едно число, в сравнение с векторите, които показват с колко се движим в различните посоки. Те ни дават едновременно както големина, така и посока, докато това тук е просто обикновено число. Но как да определим умножението на този вектор с числото 3? Един логичен подход, който може да приложим, е просто да умножим по 3 всеки един от компонентите. Това би могло да е равно на... имаме 2 и 1... И ще ги умножим по 3. Имаме 3 по 2 и 3 по 1. Полученият вектор продължава да бъде двумерен вектор и ще бъде равен на двумерния вектор [6;3]. Насърчавам тe да вземеш милиметрова хартия и да начертаеш този вектор, и да помислиш за това как се отнася към този вектор ето тук. Нека го направя... Векторът [6;3], ако започнем в началото на координатната система, ще се движим 6 единици в хоризонтална посока... 1, 2, 3, 4, 5, 6... и 3 във вертикалната... 1, 2, 3... Това ни отвежда ето тук, векторът ще изглежда ето така. И така, какво точно се случи с този вектор? Един начин да разглеждаме това умножение е какво се е променило и какво не се е променило за този вектор? Векторът има същата посока. Този вектор има същата посока. Умножението по скалар, поне по начина, по който го определихме, не променя посоката на вектора. Или поне в този случай не го направи. Но пък промени дължината. Дължината сега е 3 пъти по-голяма, което всъщност е доста логично, защото ние го умножихме по 3. Един от начините да разглеждаме това е, че ние го мащабираме 3 пъти. Скаларът мащабира вектора. Това може и да има смисъл. Това може и да обясни произхода на думата скалар (на английски мащабирам се превежда като scale). Скаларът, умножен с вектор, мащабира вектора. Векторът увеличава своята дължина 3 пъти, без да променя посоката си. Нека да направим нещо интересно. Нека да умножим нашия вектор а с отрицателно число. Нека просто го умножим по -1, за да запазим нещата прости. Нека просто умножим –1 с вектор а. Използвайки метода, който току-що видяхме, ще умножим всеки компонент с –1. Така 2 по –1 е –2, и 1 по –1 е –1. Така –1 по вектор а дава [-2; -1]. Ако започнем в началото на координатната система, ние ще се придвижим в хоризонтална посока с –2 единици, а във вертикалната с –1. Сега какво се случи с вектора, когато го умножихме по –1? Сега той смени посоката си! Умножението с –1 смени посоката на вектора. Неговата дължина всъщност не се е променила, но сега е в точно обратната посока. Което е логично, защото умножаваме по отрицателно число. В действителност това се случва и когато работим с традиционната числова ос. Ако умножим 5 с –1, отиваме от другата страна на цифровата ос спрямо нулата. Получаваме –5, с 5 наляво от нулата. Така че е логично, че ще обърне посоката си. Можем да си представим, ако вземем например –2 по вектор а, –2 пъти вектор а... Насърчавам те да поставиш видеото на пауза и да опиташ самостоятелно. Какво ще даде това? Какво би било визуалното представяне на получения вектор? Да видим, това би било равно на –2 по 2, което е –4, –2 по 1, което е –2, така че този вектор, ако започваме от началото на координатната система (запомни, че това не е задължително) но ако все пак го направим, ще бъде 0, 1, 2, 3, 4... 1, 2... Ще изглежда ето така. И само да си припомним... нашият оригинален вектор изглеждаше ето така. [2; 1] изглежда по този начин. И след като го умножим по –2, получаваме вектор, който изглежда ето така. Ще го начертая така. Нарочно не чертая всички от началото на координатната система, защото не е задължително да започват оттам. В крайна сметка получаваме ето този вектор. Така че каква е разликата между вектор а и вектор –2 по а? Отрицателният знак обърна вектора в другата посока, а след това двойката го мащабира два пъти, но поради отрицателния знак новият вектор се мащабира два пъти в обратната посока.