Реални координатни пространства

Когато започнеш да се занимаваш с висша математика, ще видиш, че преподавателите пишат нещо подобно на това R като към тази страна добавят още една черта. Или записват примерно R2. Или ако ползваш учебник, може да е записано като удебелено главно R. с индекс 2 написан горе. Ако видиш това, то с него се означава двумерното евклидово пространство (двумерно пространство с реални координати), което звучи доста претенциозно. Един начин да си го представим е, че това е просто двумерното пространство, с което сте свикнали в обикновената координатна система. Малко по-абстрактно, не е задължително визуално да го представяме така. Визуалното представяне е само един начин да разглеждаме евклидовото пространство. Ако трябва да го разгледаме по-абстрактно, R2, двумерното евклидово пространство, нека го запиша – двумерното евклидово пространство. Нека разтълкуваме по части този начин на записване, двойката ни показва с колко измерения работим, а R ни показва, че това е пространство над реалните числа. Двумерното евклидово пространство можем да изразим като всички възможни наредени двойки от реални числа. Нека го запиша. Всички възможни наредени двойки от реални числа. Какво е наредена двойка? Наредена n-орка е списък от n числа в определен ред. И понеже говорим за реални числа, това ще бъде наредена n-орка от реални числа. Наредена двойка пък е списък от две числа в определен ред. Ето това например е списък от 2 реални числа. Е, това е точно това, което направихме тук, когато разглеждахме двумерния вектор. Това тук е наредена двойка, наредена двойка от реални числа. Нито едно от числата няма имагинерна част. Имаме 3 и 4. Редът има значение. Тази наредена двойка се различава от наредената двойка [4; 3]. Дори, ако искаме да ги представяме чрез посоките, този вектор тук, вектор [4; 3] ще бъде 4 единици в хоризонталната посока и 3 във вертикалната. Ще изглежда по такъв начин. И помни, няма нужда да го чертаем точно там. Единствено дължината и посоката са от значение. Можем да го начертаем ето тук например. Това също ще е вектор [4; 3]. Затова, когато говорим за R2, имаме предвид всички възможни наредени двойки от реални числа. Всички възможни вектори, които можем да имаме, чиито компоненти – компонентите са тези числа ето тук – където всички компоненти са реални числа. Можем да имаме [3; 4]. Можем да имаме [–3; –4]. Това ще бъде 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ще изглежда ето така – всъщност, ще трябва да направя оста малко по-дълга, за да изглежда по същия начин – 1, 2, 3, 4. Ще изглежда ето така. Това ще е векторът минус 3 – ще го запиша малко по-добре: това е вектор [–3; – 4]. Ако вземем всички възможни наредени двойки заедно с вектора [0; 0] – той няма дължина и можем да спорим за посоката му – като вземем всички тези заедно, тогава създаваме двумерното евклидово пространство. То се нарича R2. Както можеш да си представиш, тук написахме 2, но дали можем да сложим 3 вместо това? Да, абсолютно, можем да сложим 3. R3 е тримерното евклидово пространство. 3D евклидово пространство. Ние можем да си представим и него. всички възможни наредени тройки реални числа. Например това би било елемент от R3. Нека означим тези вектори, за да ни стане навик. Нека да наречем този вектор x. И нека имаме вектор b, който изглежда така: [–1; 5; 3]. И двата са елементи на R3. Ако искаме малко по-претенциозен начин на записване – елемент на множество се бележи така – това е елемент на множеството R3 – понеже е наредена тройка от реални числа. А какво не е елемент на R3? Този вектор тук не е наредена тройка. Това е елемент на R2. Можем да го разширим по някакъв начин, да добавим нула например, но формално не е наредена тройка. Още едно нещо, което не е елемент на R3, например, е вектор, който има имагинерни части в някои от компонентите си. Например [i; 0; 1]. Това вече не са реални числа. Сложили сме имагинерно число там. Това число тук има имагинерна част. Това вече не е наредена тройка от реални числа. Удобството на линейната алгебра е, че няма нужда да спираме тук. Можем да си представим R3, можем да начертаем тези вектори. В математическата ти кариера досега, особено ако разглеждаш някаква холограма например, не е трудно да си представяш неща в три измерения. Но удобството е, че можем да обобщим това. Можем да отидем в 4, 5, 6, 7, 20, 100 измерения. Естествено става много по-трудно, ако не и невъзможно да си ги представяме визуално. Но поне можем да ги представим математически, с наредена n-орка от вектори. Когато говорим за евклидово пространство, най-често ще виждаме означение като Rn, където n се поставя отгоре. Това тук е n-мерно евклидово пространство.