Пример с използване на множител на Лагранж, част 1

Да предположим, че ти ръководиш някаква компания, която произвежда някаква стока. Да кажем, че произвеждаш някаква джунджурия, която хората харесват, и основните ти разходи са разходите за труд, т.е. заплатите на работниците, както и разходите за стомана. Да кажем, че разходите ти за труд са 20 долара на час, а разходите за стомана са 2 000 долара – искам числата да имат някаква връзка помежду си – 2000 долара за тон стомана. След това наемаш анализатор, който се опитва да моделира приходите, които може да получиш от твоята джунджурийка като функция от работните часове и тоновете използвана стомана. Да кажем, че моделът за приходите, който той е намерил, е, че приходите са функция от работните часове h, и после от s, разходите за стомана. Приходите ти (R) са равни на 100 по работните часове, повдигнати на степен 2/3, умножено по тоновете стомана, повдигнати на степен 1/3. Ако има положени определен брой работни часове, и е употребено някакво количество стомана, това е каква сума в долари очакваш да получиш. Разбира се, ти искаш да получиш максимално голяма сума, плюс това ти имаш бюджет колко можеш да похарчиш за тези разходи. Нека бюджетът ти да е 20 000 долара. Искаш да похарчиш 20 000 долара, и искаш да имаш максимално големи приходи, съгласно модела, който ги изобразява. Това е точно такъв вид задача, за каквато е измислен множителят на Лагранж. Искаме да максимизираме стойността на някаква функция, като имаме някакво ограничение. Това ограничение не е дадено като формула, но ние много лесно можем да го изразим с формула. Защото от какво е съставен бюджетът? Той е съставен от броя на работните часове, умножени по 20, защото имаме 20 долара разходи за един работен час, умножено по броя на отработените часове, плюс 2000 долара за тон стомана по тоновете стомана, които са използвани. Значи ограничението е това, че тези разходи трябва да са равни на 20 000 долара. Можем да кажем по-малко от, можем да кажем, че не искаме да надвишаваме тази сума, но интуитивно и в реалността това е случаят, когато за да максимизираме печалбата, трябва да изстискаме максимално всеки долар, който е наличен и на практика да достигнем това ограничение. Така че това е ограничението в тази задача. Сега да му дадем име, функцията, с която работим, да и дадем някакво име. Ще я означа като g от (h; s), което е ето тази функция. Ако си спомняш от предишните видео клипове, начинът, по който това може да се изобрази графично, е да разгледаме множеството от всички възможни входни стойности, като в този случай това може да си го представим като равнината hs, броят на работните часове са по едната ос, а тоновете използвана стомана са по другата ос. Ограничението в този случай е линейна функция, като това ограничително условие в случая ще е някаква права, която ни показва за кои наредени двойки (h; s) е изпълнено това ограничение. Функцията на печалбата, която разглеждаме, ще има определени контури. Може би печалба 10 000 долара ще отговаря на някакъв контур, който изглежда ето така, а на приходи от 100 000 долара ще отговоря някакъв контур, който изглежда ето така. Искаме да намерим коя стойност на функцията едва докосва кривата на ограничителното условие. Тя трябва да е просто допирателна в тази точка, защото това ще е контурната линия, за която, ако увеличим стойността със съвсем малко, тя вече няма да пресича кривата, вече няма да има стойности на h и s, които да удовлетворяват това ограничително условие. Начинът, по който разглеждаме тази тангенциалност, е да разгледаме вектора, който е перпендикулярен на допирателната права към кривата в тази точка, което за щастие се представя с... ще направя малко място. Представя се чрез градиента, градиента на нашата функция R, функцията, на която е този контур, или приходите. Това означава, че това трябва да е допирателна към правата на ограничителната функция, като това ще бъде друг вектор, градиентът на функцията g, нашата функция на ограничението, който сочи в същата посока, и е пропорционален на първия вектор. Обикновено записваме това по следния начин: казваме, че градиентът на функцията R е пропорционален на градиента на функцията g, като коефициентът на пропорционалност се нарича множител на Лагранж. Сега да започнем да решаваме това. Първо да изчислим градиента на R. Градиентът на R има компоненти частните производни на R – първият компонент е относно първата променлива, която е h, значи частната производна по отношение на h. Вторият компонент е частната производна относно втората променлива s. В този случай за горната частна производна, ако приемем h като променлива, а s като константа, тогава 2/3 в степенния показател отива отпред, става 100 по 2/3 по h на степен – трябва да извадим 1 от 2/3, което дава минус 1/3, значи по h на степен минус 1/3, след това умножаваме по s на степен 1/3. Следва вторият компонент, частната производна относно s, тя ще бъде 100 по... сега разглеждаме s като променлива, изнасяме отпред 1/3, това става 1/3 по h на степен 2/3 разглеждаме като константа, когато диференцираме относно s, а после имаме s на степен 1/3 минус 1, което е на степен минус 2/3. Това е градиентът на функцията R. Сега да намерим градиента на функцията g. Сега ще е по-лесно, защото това е просто линейна функция. Когато намираме градиента на g, това са частните производни – по отношение на h и по отношение на s. Частната производна относно h е просто 20. Функцията е 20 по h плюс нещо, което е константа, така че производната е просто 20. След това частната производна относно s – тя е 2000 по същите причини, защото имаме просто някаква константа, умножена по s, плюс някакви други неща, които също в случая са константи. Това е супер и това означава, че когато приравним градиента на R на градиента на g, двойката уравнения, които получаваме – само ще ги напиша още веднъж – горното е 200/3 по... сега ще го опростя малко, докато го преписвам. Значи h на степен 1/3... всъщност това е h на степен минус 1/3, извинявам се, това е едно върху h на степен 1/3. Всичко това, този първият компонент, е равен на първия компонент на градиента на g, който е 20 по ламда – по множителя на Лагранж, защото ние не приравняваме градиентите един на друг, а просто ги правим пропорционални един на друг. Така това е първото уравнение, а после второто уравнение – ще опростя малко, докато го преписвам. Това е 100/3 и после h на степен 2/3, значи по h на степен 2/3, делено на s на степен 2/3, защото s на степен минус 2/3 е същото като 1 върху s на степен 2/3. Всичко това е равно на 2000 по ламда. Важното тук е, че това е същото ламда, защото целият вектор трябва да е пропорционален. Мисля, че сега е много подходящ момент да прекъснем и ще продължим в следващото видео. Тогава ще разгледаме нещата подробно и ще достигнем до решението.