Значението на множителя на Лагранж

Привет! В това видео искам да ти покажа нещо много интересно относно множителите на Лагранж, които разглеждаме. В първата част аз просто ще възпроизведа условието, което е преговор на това, което вече разглеждахме, но смятам, че наистина ще ти хареса до какво ще ни доведе това накрая. Един от примерите, които ти показах, и мисля, че това е един чудесен обобщаващ пример на задачите за оптимизация с ограничение, е примерът, в който ти ръководиш компания и имаш някаква функция на приходите, която зависи от различни опции, които ти избираш, докато ръководиш компанията си, като мисля, че разглеждахме броя на отработените часове, както и тоновете използвана стомана – разбираш ме – ако произвеждаш някакво метално изделие. Приходите могат да бъдат моделирани с някаква функция на много променливи, например функция от h и s, като в момента не ни интересуват подробностите. Искаш да максимизираш стойността на тази функция, това е основната цел на този раздел, който разглеждаме в момента, и това е, че ти искаш да максимизираш някаква функция, но съществува някакво ограничително условие. Това е реална компания и ти не можеш да харчиш неограничено, имаш някакъв бюджет, някаква сума пари, които да похарчиш, която е функция от същите решения, които вземаш, броя на отработените часове и тоновете използвана стомана. Това, отново, ще е равно на функция на много променливи, която ти казва, досещаш се, колко пари харчиш за определен брой отработени часове и за някакво количество използвана стомана. Тогава приравняваш тази функция на някаква константа, която е равна на сумата, която искаш да похарчиш. Целта ни беше да максимизираме някаква функция, която е обект на подобно ограничение. Теоретичният модел, който използваме, е, че разглеждаме входното пространство, вътре в равнината ху, или може би е по-добре да кажем равнината hs в този случай. Входните стойности са h и s, а точките в тази равнина ти казват какви са възможните решения, които можеш да вземеш, относно броя на отработените часове и количеството използвана стомана. Представяш си този бюджет като някаква крива в тази равнина. Всички комбинации на s и h, които са равни на 10 000 долара, ще ни дадат някаква крива. И основната стойност, която ни интересува, когато максимизираме приходите, когато приравним функцията на приходите на някаква константа, която ще означа като М*, това са максимално възможните приходи, което ни дава някакъв контур, който едва докосва кривата на ограничителното условие. Ако това ти се струва непознато, определено трябва да гледаш видео клиповете преди този. Но сега да продължим преговора, което ни дава наистина едно добро свойство, което е, че векторът на градиента на функцията, която искаме да максимизираме, R, е пропорционален на вектора на градиента на функцията на ограничението, на тази функция В, значи градиента на В. Това е така, защото градиентът е перпендикулярен на контурните линии. Отново, това дотук е просто преговор. Основната идея е, че взимаме този градиент на R, и след това съставяме пропорционална зависимост с някакъв коефициент на пропорционалност ламда, относно градиента В на ограничителната функция. До този момент стойността ламда изобщо не ни интересуваше. Това беше просто един коефициент на пропорционалност, защото ние не можем да гарантираме, че градиентът на R е равен на градиента на В. Всичко, което ни интересуваше, е те да сочат в една и съща посока. Така че тук просто имаме този коефициент на пропорционалност, и всичко, което казахме за него досега, беше, да се уверим, че не е нула. Но сега ще разгледаме какво е значението му. Ако си спомняш, в последното видео въведохме т.нар. функция на Лагранж или лагранжиан. Тя има няколко входни променливи, като това са същите входни стойности, като на функцията на бюджета на функцията на приходите, или, по-общо казано, като на функцията на ограничителното условие и на функцията, която искаме да максимизираме. Лагранжианът взима тези променливи, както и още една променлива – променливата ламда. Значи лагранжианът е функция с повече измерения от тези двете функции, защото той има в допълнение променливата ламда. Начинът, по който го дефинираме, на пръв поглед изглежда малко странен, изглежда малко хаотична комбинация на функции, които ние струпваме на едно място. Но последния път аз обърнах внимание защо това е логично. Взимаме функцията, която искаме да максимизираме, и изваждаме от нея коефициента ламда, умножен по функцията на ограничителното условие, която е функцията В от тези променливи, и изваждаме тези константи тук. Ще им дам име, ще означа тази константа като малко b. Може би това е 10 000 долара, или какъвто е истинският ни бюджет. Разглеждаме това, като сега искам да подчертая, че това е константа, нали, това b в момента също е константа. Разглеждаме h, s и ламда като променливи, а това ни дава някаква функция на много променливи. Ако си спомняш от предишното видео, причината да дефинираме тази функция е, че тя ни дава много сбит начин да решим задачата за оптимизация с ограничение. Приравняваме градиента на L на нула, или по-точно на нулевия вектор, той ще бъде вектор, който има три компонента. Когато направим това, ще намерим някакво решение, което ще означа с h звезда, s звезда и ламда звезда, като ще използвам този зелен цвят. Намираме някаква стойност, която, когато я въведем във функцията, градиентът ще бъде равен на нула. Разбира се, възможно е да намериш няколко такива стойности, може да има няколко решения на задачата, но това, което правим с всяко едно решение, е да вземем и да разгледаме h звезда и s звезда, и след това да ги въведем във функцията за приходите, или тази функция, която опитваме да максимизираме. Обикновено получаваме някакви числа, като заместваме всяко от тях във функцията на приходите, и после проверяваме за всяко от тях дали функцията има максимална стойност. Максималната стойност, която достигне тази функция, това е М звезда, това е максимално възможният приход, който може да се постигне при този бюджет. Но е интересно, че когато решаваме това, получаваме някаква конкретна стойност на ламда, има конкретна стойност ламда звезда, която е свързана с решението. Оказва се, че това не е някаква проста променлива. Тя носи информация за това колко можем да увеличим приходите, ако увеличим бюджета. Сега ще ти покажа какво имам предвид. Имаме това М звезда, ще го напиша отново – М звезда. Това е равно на – казваме, че това е максималният възможен приход. Така че това са приходите, когато изчисляваме това за h звезда и s звезда. h звезда и s звезда са решенията, когато градиентът на лагранжиана е равен на нула. Приравняваме функцията на много променливи на нулевия вектор, решаваме уравненията, когато всяка от частните производни е равна на нула, и получаваме някакво решение. Когато заместим това решение във функцията за приходите, това ни дава максимално възможните приходи. Но можем да разглеждаме това като функция на бюджета. Това е нещо, което може би ти изглежда малко странно, ако само разглеждаш формулите. Но ако разсъдиш какво означава то в контекста на приходите и на бюджета, тогава е напълно логично. когато разглеждаме това малко b вече не като костанта, а като нещо, което можем да променим, и се чудим какво би станало, ако имаме бюджет 20 000, или ако имаме бюджет 15 000 долара. Задаваме въпроса какво би се случило, ако променим стойността на това малко b. При максимизирането на стойността на функцията, h звезда и s звезда зависят от b. И ако променим стойността на тази константа, тогава ще се променят стойностите, за които градиентът на лагранжиана е равен на нула. Така че ще препиша тази функция като приходите, изчислени за h звезда и s звезда, но сега ще разглеждам h звезда и s звезда като функции от малко b, защото те по някакъв начин зависят от него. Когато променим b, се променя решението на задачата. Това е доста сложно и е трудно да се разсъждава за него. Трудно е да кажем когато променим това b как ще се промени h звезда. Това зависи от – досещаш се – от дефиницията на R и от всичко друго тук. Но, по принцип, в този контекст, това е доста логично, според мен. Имаме максимално възможни приходи, и те зависят от бюджета ти. Това, което се оказва нещо красиво, уникално красив факт, е това, че това ламда звезда е равно на производната на М звезда, производната на този максимално възможен приход по отношение на b, относно бюджета. Нека ти покажа какво означава това. Например, да кажем, че си направил/а всички изчисления и се оказва, че ламда звезда е равно на 2,3. Преди това ни изглеждаше като едно просто число, което игнорирахме, а разглеждахме само стойностите, свързани с него. Но ако въведем формулата в компютъра и той изчисли, че ламда звезда е равно на 2,3, това означава, че за една малка промяна на бюджета, например да кажем, че бюджетът се увеличи от 10 000 на 10 001 долара, увеличаваме бюджета съвсем малко, с едно малко db. Тогава отношението на промяната на максималните приходи към това db е 2,3. Това означава, че ако увеличим бюджета с един долар, това ще увеличи М звезда, ето тук, М звезда ще се увеличи с 2,30 долара за всеки долар, с който увеличим бюджета. Тази информация е важна, нали? Когато ламда звезда е число, по-голямо от 1, тогава си казваш, че може би е добре да се увеличи бюджета. Увеличаваме бюджета от 10 000 на 10 001 долара, и реализираме по-големи приходи. Така че, когато ламда звезда е по-голяма от 1, можеш да продължиш да увеличаваш този бюджет. Този факт е доста изненадваш, и изглежда, че не следва от нищо. Но в следващите няколко видеа ще ти докажа, че това е вярно – че стойността на ламда звезда е скоростта на изменение на максималната стойност на функцията, която максимизираме по отношение на тази константа, на която задаваш да е равна стойността на ограничителната функция. Но засега искам просто да се опиташ да осмислиш какво означава това в конекста на този конкретен икономически пример. И дори да не си виждал/а доказателството, и никога да не ти е станало ясно, мисля, че е интересно, и даже е полезно да знаеш това за множителя на Лагранж. Ще се видим в следващия видео клип.