Пример за определяне на дивергенция на векторно поле

Дадено ни е това векторно поле, V от х и у. Първият компонент на изходния вектор е просто х по у. Вторият компонент е у на квадрат минус х на квадрат. Това е изображение на това векторно поле. Ето така изглежда векторното поле. Сега искам да изчислим и да разтълкуваме дивергенцията на векторното поле V. Дивергенцията на V, като функция на х и на у. В последните няколко видео клипа обясних, че формулата за дивергенцията на векторното поле – като се надявам, че я разглеждаш като нещо повече от формула, а като нещо, което е логично – формулата е частната производна на Р по отношение на х – Р разглеждаме като първия компонент – Разглеждаме компонентите на изходния вектор като Р от х и у и Q от х и у. Можем да използваме произволни букви, но най-често се използват Р и Q. Формулата е частната производна на първия компонент по отношение на първата променлива х, плюс частната производна на втория компонент по отношение на втората променлива у. Когато заместим дадените ни стойности и започнем да пресмятаме, частната производна на Р по отношение на х е – приемаме х за променлива, а у приемаме за константа. Производната е равна на константата у. После частната производна на Q, втория компонент, по отношение на у – поглеждаме тук. у на квадрат е променлива, производната е равна на 2 по у. х е константа, така че не се случва нищо. Така дивергенцията очевидно зависи само от стойността на у. Дивергенцията на това векторно поле е равна на 3 по у. Това означава, че ако разгледаме, например, да кажем, че разгледаме точките, когато у е равно на 0, тогава дивергенцията е нула. Флуидът нито се отдалечава, нито се приближава към тези точки. у = 0 съответства на оста х. За да го онагледим, можем да си представим, че флуидът един вид идва отгоре, но се компенсира от количеството флуид, което отива настрани тук и навсякъде, където погледнем. Имам предвид, че тук се движи съвсем малко, а предполагам, че се оттича същото количество, така че се компенсират. Сега да разгледаме случай, когато у е равно на 3. В този случай дивергенцията е равна на 9. Можем да очакваме, че тук дивергенцията е положителна, когато у е положително. Ако отиваме нагоре, когато у е равно на едно, две, три. Ако разгледаме някоя точка ето тук – да разгледаме областта около тази точка. Виждаме, че векторите, които започват от нея, изглеждат по-големи. Флуидът се отдалечава от този участък много бързо, докато флуидът, който се приближава, се движи по-бавно. Значи като цяло в участъка около тази точка флуидът се оттича, отдалечава се. Ако погледнеш навсякъде, където у е положително, ако разгледаш ето тук, виждаме същото нещо, тук има флуид, който се втича, както изглежда. Но векторите, които напускат този участък, са по-дълги. Така че можем да очакваме, че като цяло нещата се разхождат, оттичат се от тази точка. Обратно, ако разгледаме участък, където у е отрицателно, да кажем, където у е равно на минус 4, тук не е нужно пак да бъде 3. Тук дивергенцията е равна на минус 12. Можем да очакваме, че векторите в този участък определено сочат към избраните от нас точки. Когато отиваме надолу – да изберем у равно на минус 4. Но принципно разглеждаме всички точки, в които у е отрицателно. Да разгледаме ето тази точка ето тук. Флуидът се втича към нея, като наблюдаваме вектори с много голяма дължина. Значи флуидът се втича тук много бързо. Когато се оттича, когато се отдалечава, това се случва с по-малка скорост, оттича се някак неохотно. Изглежда логично, само като гледаме чертежа, че дивергенцията е отрицателна, когато стойностите на у са отрицателни. Изнанедващо е, което не бихме могли да забележим, само като разглеждаме чертежа, че дивергенцията зависи само от стойността на у. Но след като я изчислим, виждаме, че реално тя зависи само от у и това важи и когато отиваме наляво, и когато отиваме надясно на чертежа. Когато разгледаме отляво и отдясно, дивергенцията не се променя. Това е изненадващо. Но също така е и логично. Не виждаме никаква основателна причина дивергенцията тук да е по-различна от дивергенцията тук. Но нямаше как да преценим, че дивергенцията е еднаква.