Начини за записване на дивергенция на векторно поле

Казах, че ако имаме едно векторно поле, двумерно векторно поле, като компонентите са функциите Р и Q, тогава дивергенцията на това поле V, което е скаларна функция от х и у, по определение представлява частната производна на Р по отношение на х, плюс частната производна на Q по отношение на у. Но има и друг начин за записване на дивергенцията, която е много удобна за запаметяване на формулата. Тя включва символа набла, обърнат наобратно триъгълник, който използваме и за градиент, и си представи, че намираме скаларното му производение с нашата векторна функция. Както и при градиента, начинът за запаметяване на този обърнат триъгълник, който можем да си представим като вектор, който съдържа оператори за частни производни, което звучи много интересно, но означава просто, че един вид това частно х, нещо, което е на входа на функцията, намираме неговата частна производна, и това е за първия компонент, а за втория компонент имаме частно, частно у, нещо, което функцията приема като аргумент, и на изхода получаваме частната ѝ производна по отношение на у. Грубо казано, това по същество не е истински вектор, това не са числа или функции, или нещо подобно, но е нещо, което можеш да запишеш и то е много полезно като начин на записване. Представи си, че намираме скаларното производение с това, като V, което има компоненти скаларните функции Р от х и от у и Q от х и от у. Когато си представим това скаларно произведение, когато един вид подравним членовете, първият умножаваме по втория, нали така, слагам кавички на думата умножаваме, защото в този случай, когато казваме, че умножаваме първия компонент по Р, имам предвид, че използваме оператора за частна производна, частно, частно х и го определяме за Р. Ето така изглежда умножението в този случай. Взимаме това и както при скаларното произведение го събираме с това, което в случая е този оператор за частна производна, това частно, частно у, пак слагам кавички, "умножаваме" го по Q. Когато имаме този оператор, това означава, че един вид му даваме функцията q и на изхода е частната производна. Тук виждаме същото нещо, това е същата формула, което е много приятно, можем да го разглеждаме като средство за лесно запомняне на това какво представлява дивергенцията. Друго хубаво нещо е, че това може да се приложи и към функции с повече измерения. Ако имаме функция, която – да видим – някаква векторна функция, която определя тримерно векторно поле. Входните стойности са (х; у; z), а изходните стойности също имат три измерения. Например нека са Р, Q и R. Всички те са функции от х и у. Значи това са Р от (х; у), Q от (х; у), о, не, това са (х; у; z). Р от (х; у) го написах по навик както е за две измерения, а трябва да са Р от (х; у; z), Q от (х; у; z) и R от (х; у; z). Досега не сме разглеждали дивергенция при три измерения. Но ако си представиш, че имаш скаларното произведение на набла по векторната функция, тогава нещата изглеждат логични. В този случай можем да приемем, че набла има три различни компонента. Ще имаме от една страна частно, частно х, това трябва да е частно х, след това вторият компонент е частно, частно у, и последният компонент частно, частно z. Подреждането на тези променливи тук, на х, у и z е просто това, което имаме ето тук. Даже ако не сме ги означили с х, у и z, ги взимаме по същия ред, по който ги виждаме в нашата функция. Когато си представиш скаларното произведение на това и на нашата функция Р, функцията Q и функцията R – това е нашата векторна изходна стойност, това, което получаваме – ще го запиша ето тук – един вид "умножаваме" частно, частно х по Р, което означава просто, че го изчисляваме за Р. Тук е частно х. После събираме с частно, частно у, което го изчисляваме за Q, защото си представи, че умножаваме вторите компоненти. Събираме ги с това, което се получава, когато умножим по третите компоненти, т.е. по частно, частно z, по този последен компонент. Тъй като досега не сме разглеждали тримерни векторни полета, които имат тримерна дивергенция, последният компонент, може би не можеш да си обясниш логически защо се появява тук в израза за дивергенцията като другите два компонента, но всъщност това е съвсем същото – разглеждаме промените на z-компонента на вектора като стойността z на аргумента, все едно се преместваме нагоре-надолу и посоката се променя. Но този принцип е в сила и за още повече измерения, които не можем да си представим визуално, например 4, 5, 100, колкото пожелаеш. Ето по тази причина този начин на записване е толкова удобен, понеже той отразява това и ни дава един много кратък начин да запишем тази формула, с един много прост модел, иначе това би било много трудно да се запише. До скоро.