Основното правило за умножение

Когато изчисляваме вероятности, които включват случването на едно събитие И друго събитие, умножаваме техните вероятности.

В някои случаи, ако първото събитие се случи, това повлиява на вероятността за второто събитие. Наричаме тези зависими събития.

В други случаи, ако първото събитие се случи, това не повлиява на вероятността за второто. Наричаме ги независими събития.

Каква е вероятността за хвърляне на справедлива монета и получаване на "ези" два пъти подред? Тоест каква е вероятността да получим ези от първото хвърляне И ези от второто хвърляне?

Представи си, че $100$‍ души симулират това и хвърлят една монета два пъти. Средно $50$‍ души ще хвърлят ези на първото хвърляне, а после $25$‍ от тях ще получат отново ези. Така че $25$‍ от първоначалните $100$‍ души – или $1/4$‍ от тях – ще хвърлят ези два пъти подред.

Броят на хората, с които започваме, няма значение. Теоретично, $1/2$‍ от първоначалната група ще хвърли ези, а $1/2$‍ от тази група ще хвърли ези отново. За намерим част от дроб, умножаваме.

Можем да представим тази концепция с диаграма тип "дърво", като тази, показана по-долу.

Умножаваме вероятностите по клоните, за да намерим общата вероятност едно събитие И следващото събитие да се случат.

Например вероятността да хвърлим две "тура" подред ще е:

Когато две събития са независими, можем да кажем, че

Да предположим, че ще хвърлим две справедливи зара с по $6$‍ страни.

Можем да използваме подобна стратегия, дори когато си имаме работа със зависими събития.

Да помислим върху раздаването на две карти, без връщане, от стандартно тесте от $52$‍ карти. Това означава, че теглим първата карта, оставяме я настрани и после теглим втората карта.

Каква е вероятността и двете избрани карти да са черни?

Половината от $52$‍-те карти са черни, така че вероятността първата карта да е черна е $26/52$‍. Но вероятността да изтеглим черна карта се променя при следващото теглене, тъй като и броят черни карти, и общият брой карти са намалели с $1$‍.

Ето как ще изглеждат вероятностите в диаграма тип "дърво":

Така че вероятността и двете карти да са черни е:

В една таблица от $5$‍ ученици има $3$‍ ученици от 12-ти клас и $2$‍ ученици от 11-ти клас. Учителят ще избере $2$‍ ученици на случаен принцип от тази група, които да представят решенията на домашното.

Вертикалната черта в $P(\text{B}|\text{A})$‍ означава "при положение че", така че това може да се разчете като "вероятността В да се случи, при положение че А се е случило."

Тази формула казва, че можем да умножим вероятностите за две събития, но трябва да вземем предвид първото събитие, когато мислим за вероятността за второто събитие.

Ако събитията са независими, това, че едното от тях се случва, не повлиява върху вероятността за другото събитие и в този случай $P(\text{B}|\text{A})=P(\text{B})$‍.