Условна вероятност: монети

Имаме 8 монети в в една торба. Три от тях са несиметрични, защото има 60% вероятност да се падне ези при хвърляне. Останалите са симетрични монети. Така 3 са несиметрични, общо са 8 монети. Когато казвам, или когато в задачата се казва, че това са симетрични монети, това означава, че имат 50/50 вероятност да се падне или ези, или тура. Избираме произволно една монета от торбата и я хвърляме два пъти. Каква е вероятността в проценти да получим 2 пъти ези? Това е интересен въпрос, но ако го разложим чрез дърво на решенията, това ще ни помогне да го разгледаме малко по-добре. Та да кажем, че имаме една торба. Три от монетите в нея са несиметрични. Можем да изобразим торбата. Не е нужно да правим това през цялото време. Така имаме, симетричните монети ще оцветя в бяло. 1, 2, 3, 4, 5 симетрични монети. И имаме три несиметрични монети. 1, 2, 3. Това цялото нещо тук е моята торба, моята торба с монети. Ако бръкна в торбата, ако взема една от тези бели монети, има 50% вероятност да се падне ези при всяко хвърляне. Шансът да се паднат две ези-та едно след друго ще е 50% по 50% за тези бели монети. Но не знам дали ще извадя бяла монета. Ако извадя една от тези оранжеви монети, има вероятност 60% да се паднат ези-та. И вероятността да се паднат 60% ези-та ако изтегля една от тези оранжеви монети, вероятността два пъти да се паднат ези-та ще е 60%, умножено по 60%. Как мога да приложа тази идея, като не знам дали съм избрал бяла симетрична монета или оранжева несиметрична монета... Да приемем, че монетите всъщност не са бели или оранжеви. Всички те приличат на обикновени монети. И сега тук ще начертая едно дърво на решенията, и ще го нарека "дърво на вероятностите". Има определена вероятност да избера симетрична монета, както и вероятност да избера несиметрична монета. Така, каква е вероятността да избера симетрична монета? 1, 2, 3, 4, 5 от общо 8 монети са симетрични. Това означава, че вероятността е равна на 5/8, всъщност ще го запиша тук на клона. Вероятността да избера симетрична монета е 5/8. Тогава има 3, 1, 2, 3 от общо 8 варианта да избера несиметрична монета. И ако те попитам каква е вероятността да изберем симетрична монета, ще кажеш, че тя е 5/8! И каква е вероятността да избера несиметрична монета? 3/8. Това може да се превърне в десетична дроб или в проценти, или каквото там ти харесва. Ако предположим, че съм избрал симетрична монета, каква е вероятността два пъти да получа ези-та? Нека го напиша по този начин. Това тук е само начин на отбелязване. Така, вероятността, ще я нарека ези-та ези-та Получавам две ези-та едно след друго. Като имаме предвид, че монетата е симетрична, малко въображаема е символиката, но това точно се вижда, ако знаем със сигурност, че тази монета си е абсолютно симетрична, има 50% възможност да се паднат ези-та, каква е вероятността да получим две ези-та едно след друго? Тогава можем да кажем, че това ще бъде 50%... Т.е. 50% по 50%, което е равно на 25%. А каква е вероятността... ако искаме да знаем каква е вероятността да изберем симетрична монета, и да получим две ези-та едно след друго? При дадена една симетрична монета и 25% възможност да получим две ези-та едно след друго; понеже вероятността да изтеглим симетрична монета, след което при дадена симетрична монета получаваме две ези-та едно след друго, ще е 5/8 умножено по 25%. И вероятността... Целият този клон трябва да мога да го начертая по този начин. Вероятността цялата тази поредица от случващи се събития, започвайки с изтеглянето на симетричната монета, и след това с получаването на две ези-та едно след друго, ще е... ще го запиша по този начин. Ще бъде 5/8 пъти по това тук, по 0,25. Искам да изясня, че 0,25 е вероятността да получим две ези-та едно след друго, като знаем, че сме изтеглили симетрична монета. Вероятността да се случи цялата тази поредица от събития – ще трябва да умножим това по вероятността да получим симетрична монета. Друг начин да разглеждаме това е вероятността да получим симетрична монета, разполагайки с две ези-та едно след друго. Нека сега приложим същия подход при несиметричната монета. И вероятността... Ще използвам тук същия цвят. Вероятността да получа ези-ези, при условие, че имам несиметрична монета... Като приемем, че монетата ни е несиметрична, каква е вероятността да получим две ези-та едно след друго? За тази несиметрична монета има с 60% вероятност да се паднат ези-та. Това ще е равно на 0,6 по 0,6, което е 0,36. Така че, ако имаме несиметрична монета, ако предположим, че знаем със сигурност, че монетата е несиметрична, имаме 36% възможност да получим две ези-та едно след друго. И ако сега искаме да знаем вероятността за цялата тази поредица от събития, вероятността да сме изтеглили несиметрична монета, и да получим две ези-та подред... Вероятността за несиметрична монета и две ези-та едно след друго, при условие, че имаме несиметрична монета... Ще умножим това 3/8 по 0,36. Което ще е равно на 3/8 умножено по 0,36. Нека извадим калкулатора да извършим пресмятането. И ако взема 5 делено на 8, умножено по 0,25, получавам 15 цяло – ако го запиша като десетична дроб, ще е 0,15625. Т.е. имаме равно на 0,15625. И другата част, ако имам 3 делено на 8 умножено по 0,36, това дава 0,135. Това е 0,135. Ако ни попитат каква е вероятността да изтеглим симетрична монета, след което да получим две ези-та подред с тази симетрична монета, ще получим това число. Ако се пита каква е вероятността да изберем несиметричната монета, и след това да получим две ези-та подред с тази несиметрична монета, ще получим това число. Ако въпросът е и в двата случая каква е вероятността да получим две ези-та едно след друго, понеже това е което се пита тук. Каква е вероятността да получим две ези-та? Можем да я намерим чрез този метод, като случайно избираме симетричната монета. Или по този метод, като избираме несиметричната монета на случаен принцип. И щом можем да го направим по двата начина, тогава можем да съберем вероятностите. И двете от тези събития отговарят на нашите ограничаващи условия, така че можем да съберем тези два елемента. И нека го направим. Можем да съберем 0,135 плюс 0,15625, което дава 0,29125. Краен отговор 0,29125. Това се получава, когато съберем 0,15625 с 0,135 – равно е на този резултат. Ако искаме да го запишем в проценти, тогава по същество умножаваме това по 100, и добавяме знака за проценти. Това е равно на 29,125%, и ако закръглим до стотните, ще имаме, ще имаме около, или можем да кажем приблизително 29,13 % в зависимост от това как трябва да закръглим. И имаме малко по-малко от 1/3 вероятност това да се случи. А каква беше причината, спомни си, че ако имаме симетрична монета, тогава налице ще е само, ако всичко в чантата са симетрични монети, тогава ще имаме 25% вероятност да се случи това. Понеже ще кажеш, добре, всяка една от монетите, те са едни и същи, подхвърляме всяка една два пъти, 25% възможност. Шансовете ни са малко по-големи, понеже има някаква вероятност. Има 3/8 вероятност да изтеглим монета, за която има по-голяма вероятност от 50% да се паднат ези-та.