Как да използваме прекия път за решаване на задачи с еластични сблъсъци

Това е един от най-бързите начини за решаване на една от тези задачи с еластичен сблъсък, когато не знаеш две от скоростите. В този случай не знаем крайните скорости. Знаем началната скорост на топката за тенис и нейната маса. Знаем началната скорост на топката за голф и нейната маса. Но не знаем крайната скорост на никоя топка и трикът да направим тези изчисления по-бързи за един еластичен сблъсък е да използваме това уравнение, което ни казва, че началната скорост на едно от телата преди сблъсъка плюс крайната скорост на същото тяло след сблъсъка трябва да е равно на... Aко това е еластичен сблъсък, това ще е равно на началната скорост на второто тяло преди сблъсъка плюс крайната скорост на това второ тяло след сблъсъка. Ако искаш да видиш откъде идва това, изведохме го в предишното видео. Но сега, когато го знаем, можем да го използваме за всеки еластичен сблъсък. Този израз тук е верен само за еластични сблъсъци. Но сега трябва да заобичаш тази формула тук, понеже тя ни позволява да избегнем нуждата от използването на запазването на енергия и избягва нуждата от повдигане на членове на квадрат и създаването на ужасни изчислителни каши. Тази формула ще е много по-прилежна, много по-хубава. Да видим как да я използваме. Да кажем, че тяло едно е топката за тенис, а тяло две е топката за голф. В този случай началната скорост на топката за тенис ще е +40. Ще запиша "плюс", просто за да знам, че това е надясно и трябва да е положително. Плюс крайната скорост на топката за тенис, ще запиша това като vt. Вместо да пиша 1, защото ще се объркам кое беше номер 1, ще запиша vt. Така ще знам за скоростта на кое тяло говоря. vt крайна ще означава крайната скорост на топката за тенис. Това трябва да е равно на началната скорост на второто тяло. Второто ни тяло е топката за голф. Началната скорост на второто тяло, на нашата топка за голф, не е 50, а е -50. Трябва да внимаваш. В тази формула това са скоростите. Ако имаш скорост, която е насочена в отрицателна посока, трябва да я направиш отрицателна. И ако решаваш тук, може да получиш отрицателна стойност, защото тези стойности тук са векторни стойности. Трябва да ги въведеш с подходящия знак. Тази начална скорост на топката за голф ще е -50 метра в секунда, понеже ще приемем, че наляво е отрицателно, а надясно е положително. Плюс крайната скорост на второто тяло. Второто тяло е нашата топка за голф. Ще нарека това vg, а не v2. vg ще е v на топката за голф и f за крайна, тоест след сблъсъка. Можем да намерим vt крайна. Мога да извадя 40 метра в секунда от двете страни и получавам, че крайната скорост на топката за тенис ще е равна на – ще имам това vg крайна тук, крайната скорост на топката за голф след сблъсъка. После -50 минус 40 ще е -90 метра в секунда. Тази формула сама по себе си не беше достатъчна, понеже пак имам две неизвестни. Не мога да намеря нито една от тях. Трябва да използвам друго уравнение и другото уравнение, което ще използваме, е запазване на импулса, понеже по време на този сблъсък, импулсът трябва да бъде запазен, ако приемем, че сблъсъкът се случва толкова бързо, че всеки сумарен външен импулс на силата е пренебрежим. Можем да кажем, че общият начален импулс е равен на общия краен импулс. Правим това за всеки един сблъсък, понеже можем да направим това предположение, че сумарният външен импулс на силата през този сблъсък ще е малък, а това означава, че импулсът на тялото трябва да е запазен; Формулата за импулса е масата по скоростта. Тоест импулсът на тази тенис топка в началото е масата на тенис топката, 0,058, по началната скорост, която е +40. "плюс", понеже е насочена надясно и ще приема надясно за положително. Плюс началния импулс на топката за голф, който е 0,045, по началната скорост на топката за голф, която е -50. Отново, трябва да внимаваш с отрицателните знаци. Импулсът също е вектор, така че ако тези скорости са отрицателни, трябва да ги въведеш с техния отрицателен знак. И този начален импулс трябва да е равен на крайния импулс. Крайният импулс на топката за тенис ще е 0,058 по крайната скорост на топката за тенис. Ще използвам същата номенклатура. Ще използвам същия символ ето тук, който използвах тук. Това vt крайна, крайната скорост на топката за тенис, е същото като това vt крайна, крайната скорост на топката за тенис, плюс 0,045 по същото нещо, крайната скорост на топката за голф. Ще използвам същия символ, който ще е vg крайна. Мога да умножа цялата тази лява страна и получавам 0,07 килограм метра в секунда. Това е равно на целия този израз вдясно. Просто ще копирам това. В това уравнение също имам две неизвестни, така че не можем директно да намерим нито една от крайните скорости. Но сега имаме две уравнения и две неизвестни. Когато имаш тази ситуация, можеш да решиш едно от уравненията и да намериш една от променливите, и да въведеш този израз в другото уравнение. С други думи, знам, че крайната скорост на топката за тенис е равна на крайната скорост на топката за голф минус 90. Следователно мога да взема този целия член тук, тъй като той е равен на vt крайна, и просто въвеждам това за vt крайна. Това ще ми даде един израз, който е изцяло по отношение на крайната скорост на топката за голф. Нека направим това. Пак имаме 0,07 килограм метра в секунда вляво. Това ще е равно на 0,058 – това пак е тук – килограма по vt крайна. Въвеждам целия този израз за vt крайна. Това бива умножено по vg крайна, крайната скорост на топката за голф, минус 90 метра в секунда. Това беше членът, който въведох за vt крайна, и беше умножен по тази маса тук, така че не може да забравям за тази маса. И пак трябва да добавя този краен импулс на топката за голф, 0,045 килограма по крайната скорост на топката за голф. В този момент може би се чувстваш сякаш те изиграх. Може да си кажеш: "Лесен начин да направим това? Това не е лесно, това е трудно. Трябва да въвеждам едно уравнение в друго и после да решавам?" Този лесен подход не избягва нуждата от въвеждането на едно уравнение в другото, това е вярно. Но причината това да е лесно е понеже уравненията, които въвеждаме едно в друго, са много по-прости от формулата за кинетичната енергия, която щеше да използваш, ако не знаеше този израз тук. Понеже имаме този, не е нужно да въвеждаме запазването на импулса в запазването на енергията. Това щеше да повдигне на квадрат члена, който въвеждаме. Ще стане неприятно, изчисленията ще са много по-сложни. Тези формули, с които работим при този процес, имат само скорост. Никоя от тези скорости не е на квадрат, така че изчисленията не стават толкова лоши. Тук сме почти готови. Нека ти покажа колко сме близо до приключване на това нещо. Просто трябва да умножа този член тук. Ще получа – лявата страна ще остане същата. После когато умножа по 0,058, ще получа 0,058 по крайната скорост на топката за голф, а после -90 по 0,058 е -5,22. Това ще е в мерни единици килограм метри в секунда. Все още имам само този член тук, така че ще го копирам. Сега има една ключова стъпка. Цялата причина да въведем една формула в другата е, за да имаме едно и също неизвестно в тази формула. Само една неизвестна, тук има само една променлива, която е крайната скорост на топката за голф. Тя се намира на две места, но поне е една и съща променлива. Това ни позволява да комбинираме тези членове. Ако в тази дясна страна имам толкова крайна скорост на топката за голф и толкова крайна скорост на топката за голф, когато ги събера, мога просто да събера тези два члена отпред. С други думи, ще имам 0,07 е равно – мога да преобразувам това като 0,058 килограма плюс 0,045 килограма по крайната скорост на топката за голф. После пак имам това -5,22. Ако това изглеждаше като математическа магия, просто комбинирах членовете, в които имах vg крайна понеже ако имаш а по vg крайна плюс b по vg крайна, това е същото като (а + b)vg крайна. Ако умножиш това, просто отново ще получиш тези членове. Продължаваме. Не делим на това първото! Понякога хората опитват да делят на този целия член още сега. Не искаш да направиш това, трябва да работиш в правилния ред. Трябва да добавя това 5,22 към двете страни, за да мога първо да се отърва от него. Когато направя това, когато добавя 5,22 към двете страни, това ще съкрати този член и вляво ще получа 5,29 килограм метра в секунда. Това ще е равно на – ако събера тези два члена, ако просто събера 0,058 и 0,045, получавам 0,103 килограма по крайната скорост на топката за голф. Нека преместя тези начални скорости, за да можем да виждаме. В този момент ако разделя двете страни на 0,103, ще получа 51,36 метра в секунда в лявата страна и това е равно на крайната скорост на топката за голф. Направихме го, намерихме една от крайните скорости на тези тела. Намерихме крайната скорост на топката за голф. Ами крайната скорост на топката за тенис? Как да намерим каква е тя? Понеже в тази задача тя също е неизвестна. Това е много лесно. Сега, когато знаем крайната скорост на топката за голф, мога просто да взема тази стойност, да я въведа обратно тук, този израз, който въведохме в запазването на импулса. И мога да намеря скоростта на топката за тенис. С други думи, скоростта на топката за тенис накрая трябва да е равна на крайната скорост на топката за голф, която беше 51,36 метра в секунда, минус 90 метра в секунда и ще получа, че крайната скорост на топката за тенис е -38,64 метра в секунда. Това се оказа отрицателно, което означава, че тази топка за тенис е била отблъсната назад. Тя се е носела наляво след сблъсъка с 38,64 метра в секунда. Да обобщим, използвахме тази хубава формула, за да получим едно уравнение, което включваше скоростите, които не знаехме, при един еластичен сблъсък, което можеш да използваш само при еластичен сблъсък. Ако искаш да видиш откъде идва това уравнение, изведохме го в предишното видео. Намерихме една от скоростите и я въведохме в запазването на импулса. Комбинирахме подобните неизвестни и решихме алгебрично, за да получим една от крайните неизвестни скорости. После въведохме това обратно в първото уравнение, за да получим другата неизвестна скорост. Това е по-лесно от алтернативата, понеже алтернативата включва кинетични енергии, което означава, че когато вземеш един от тези изрази, трябва да го повдигнеш на квадрат и изчисленията ще са значително по-трудни.