Решаване на задачи с еластични удари по трудния начин

Проверих масата на една тенис топка. Оказва се, че една тенис топка е около 58 грама, или 0,058 килограма. И се чудех, ако изстреляме тази тенис топка надясно, право към една топка за голф – и проверих масата на една топка за голф, тя е около 45 грама, или 0,045 килограма – ако изстреляме тези топки направо една към друга с определена скорост – да кажем, че топката за голф се движи с около 50 метра в секунда. Това е доста бързо. Това е над 100 мили в час. И изстреляме топката за тенис надясно със скорост от 40 метра в секунда, така че тези топки да се сблъскат. Те се сблъскват челно. С други думи, искам да се сблъскат и да останат в тази една посока. Не искам отскачащ сблъсък, при който топката за голф да отлети нагоре или нещо такова. Нека да не правим това. Всичко ще се случи в едно измерение. Въпросът ми е следният: При дадени началните скорости и масите можем ли да намерим крайните скорости на топката за голф и тенис топката? Нека опитаме. Как можем да започнем? Когато решавам задача със сблъсък, обикновено просто започвам със запазването на импулса. Просто знам, че ако това ще е бърз сблъсък, импулсът точно преди сблъсъка трябва да е равен на импулса точно след сблъсъка. Поне общите количества. Защо това е вярно? Понеже тази топка за голф... времето, през която тя е в контакт с топката за тенис, то ще е толкова малко, че всякакви външни сили, които може да има, като гравитацията, ще имат толкова малко време да действат върху системата, че външните сили не могат да допринесат голямо количество импулс на силата. Ако няма външен импулс на силата, общият импулс на системата ни, топката за голф и тенис топката, трябва да остане постоянна. Понеже тези сблъсъци се случват, обикновено, през много кратък интервал от време, ще кажем, че общият импулс точно преди и общият импулс точно след ще са едни и същи. Това важи за почти всеки сблъсък между две свободно движещи се тела. Можеш просто да приемеш, че общият импулс ще бъде запазен. Какво ще означава това математически? Това ще е общият начален импулс – р е буквата, която използваме за импулс, и за да представим, че е общият импулс, използваме сигма. Това просто означава, че събираме целия начален импулс, а не просто импулса на едно от телата, а импулса на всички тела. Дори ще поставя знак за вектор тук, понеже импулсът е вектор. Това е важно, понеже импулсът може да е отрицателен. Тук не може да забравяш отрицателните знаци. И ако импулсът е запазен, тогава този начален общ импулс трябва да е равен на крайния общ импулс. Това имаме предвид, когато кажем: "Импулсът е запазен." Помни, че формулата за импулса е масата по скоростта. Началният импулс на топката за тенис ще е масата по скоростта. Това ще е 0,058 килограма. По началната скорост на топката за тенис – тя е +40. И ще поставя "плюс" тук, за да ми напомня, че това е надясно. Ето защо го правя положително. Началният импулс на топката за голф също ще е масата по скоростта. Това ще е плюс масата на топката за голф – тя е 0,045 килограма. Началната скорост на топката за голф ще е -50 метра в секунда, понеже топката за голф се движи наляво. И ще приемем, че наляво е отрицателно, а надясно е положително. Ако това е общият начален импулс и импулсът е запазен, това трябва да е равно на общия краен импулс. Крайният общ импулс на топката за тенис ще е 0,058 килограма по v крайна на топката за тенис. Просто ще нарека това vt за v на топката за тенис. Плюс крайния импулс на топката за голф – той ще е +0,045 килограма по крайната скорост на топката за голф, която е v. Ще поставя vg за v на топката за голф. Това ще е скоростта след сблъсъка. Сега мога ли да намеря крайните скорости на топката за тенис и топката на голф? Не, не мога. Имам едно уравнение и две неизвестни. Няма да мога да намеря нито една от тях, ако имам две променливи в едното си уравнение. С други думи, мога да събера цялата тази лява страна, ако исках. Ако събереш всичко това, получаваш 0,07 килограм метра в секунда за общия начален импулс. После, ако реша това тук, ще имам, че е равно на две неизвестни. Не знам vt и не знам и скоростта на топката за голф. Трябва да знам поне още едно нещо. Например трябва да знам – ако знаех една от тези крайни стойности, лесно щях да мога да намеря другата. Ако задачата ми беше дала крайната скорост на топката за тенис, щях да мога да въведа това число тук и после да намеря крайната скорост на топката за голф. Или задачата можеше да ти каже какъв вид сблъсък беше това. Ако ти кажеха, че са заседнали заедно, тогава можем да приемем, че и двете продължават с една и съща скорост. Това ще е перфектно нееластичен сблъсък. Ако това беше перфектно нееластичен сблъсък, щях да знам, че това е равно на една голяма маса тук. С други думи, 0,058 килограма плюс масата на топката за голф. 0,045 килограма. Това ще е една голяма маса, понеже са заседнали заедно при един перфектно нееластичен сблъсък. По само една крайна скорост, понеже и двете се движат с една и съща скорост. Ако просто вземеш това 0,07 и разделиш на общата маса, това ще ми даде комбинираната крайна скорост на двете топки. Но това е малко вероятно. Тези топки няма да заседнат заедно. Топка за голф и топка за тенис... освен ако нямаш някакъв вид лепило пред тях, не мисля, че ще заседнат в едно. Не изглежда вероятно. Нека приемем, че това не се случва. Но ако ти кажат, че две маси заседнат заедно при сблъсък, можеш да направиш това. Много по-вероятно е, че ако си имаш работа с топка за голф и топка за тенис, да ти кажат, че сблъсъкът е бил еластичен. И, помни, еластичен означава, че общата кинетична енергия в този сблъсък ще бъде константа, или запазена. Няма да загубиш никаква част от тази кинетична енергия към топлинна енергия или звук. И се оказва, че само да ни кажат това – че сблъсъкът е еластичен – е достатъчно, за да намериш тези крайни скорости. Причината е, че това предполага, че кинетичната енергия е запазена. Можем да използваме това в наша полза. Можем просто да кажем: "Сега не само, че импулсът е запазен, но ако кажем, че сблъсъкът е еластичен, това означава, че общото количество кинетична енергия бива запазено." Тоест началната обща кинетична енергия трябва да е равна на крайната обща кинетична енергия. И, помни, кинетичната енергия е 1/2 mv на квадрат. Тоест мога да кажа, че 1/2 по 0,058 килограма, което е масата на топката за тенис, по нейната начална скорост, която е 40 метра в секунда. Не може да забравяш да повдигнеш на квадрат. Кинетичната енергия е 1/2 mv на квадрат. После имаме плюс началната кинетична енергия на топката за голф, която е 1/2 – масата на топката за голф беше 0,045 килограма. Умножаваме по нейната начална скорост на квадрат. Ще имам +50. Понеже ще повдигнем това на квадрат. Това е просто големината на скоростта при кинетичната енергия. Няма значение дали ще я направиш положителна или отрицателна. Тук, при импулса, определено има значение дали ще го направиш положителен или отрицателен. Но тъй като го повдигаш на квадрат и тъй като кинетичната енергия е скаларна величина и не може да бъде отрицателна, няма значение дали тук ще поставиш "плюс" или "минус". Знакът ще изчезне, когато повдигнеш това на квадрат. Можем да кажем, че тази обща начална кинетична енергия трябва да е равна на общата крайна кинетична енергия. Мога да кажа, че това общо количество тук трябва да е равно на – ще поставя този знак "равно" тук долу – крайната кинетична енергия на топката за тенис – тя ще е 1/2 по 0,058 килограма. По крайната скорост на топката за тенис на квадрат. После към това трябва да добавя крайната кинетична енергия на топката за голф, която ще е 1/2... Масата на топката за голф е 0,045 килограма. По крайната скорост на топката за голф на квадрат. И може да си кажеш: "Как ни помага това?" Виж колко ужасно изглежда това. Тези са на квадрат. Как това ще ти помогне? Еми, сега можеш да решаваш. Понеже имаме две уравнения и две неизвестни. Двете неизвестни тук са същите като двете неизвестни тук. Когато имаш две уравнения и две неизвестни, можеш да намериш едната от неизвестните. Всъщност можеш да намериш и двете неизвестни. Първо ще решим едно от уравненията, а после ще заместим в другото. Ще получим едно уравнение с едно неизвестно. С други думи, нека ти покажа как работи това. Нека поразчистя тази страна тук, лявата страна, която е горната страна тук. Ако събера цялата тази начална кинетична енергия тук, получавам 102,65 джаула обща начална кинетична енергия. Но все още имаме две неизвестни в това уравнение. Ще дойда ето тук. Нека просто намеря vg. Ако търся vg, изваждам 0,058 vt от двете страни, 0,045 vg. Сега мога да разделя двете страни на 0,045. Тук 0,07 делено на 0,045 е равно на 1,56. И 0,058 делено на 0,045 е равно на 1,29. После това е умножено по vt. На това е равно vg. Имам израз за vg. Крайната скорост на топката за голф е равна на това количество тук. 1,56 - 1,29 vt. Ще взема този целия израз, който е равен на vg, и ще го въведа ето тук, което ми дава 1/2 по 0,045 килограма по количеството 1,56 - 1,29 vt на квадрат. Понеже това vg беше на квадрат. Просто замествам израза, който имам тук за vg, на мястото на това vg. Пак трябва да умножа по 1/2 и 0,045 и все още имам всичко това. Все още имам 102,65 джаула е равно на 1/2 по 0,058 килограма по vt на квадрат плюс това количество тук, с което заместих vg. Това става малко объркано, но поне сега имам едно уравнение със само една неизвестна. Тук имам само vt. Ако изчисля, имам 102,65 джаула е равно на... ако просто изчисля 0,058 делено на 2, получавам 0,029 и vt на квадрат. Ще изпусна мерните единици, понеже нещата ще станат объркани. И после, ако взема 0,045 делено на 2, получавам 0,0225. Сега трябва да повдигна това количество на квадрат. Ако някога имаш (а - b) на квадрат, резултатът от това ще е а на квадрат, което е 1,56 на квадрат, минус 2 по количеството на това първото, 1,56, по количеството на второто, което е 1,29vt, накрая плюс крайния елемент тук на квадрат, това b на квадрат, което ще е 1,29 на квадрат, по скоростта на топката за тенис на квадрат. Това може да не е било много ясно. Ако е така, всъщност казвам, че ако някога имаш (a - b) на квадрат, това просто е равно на a на квадрат минус 2ab плюс b на квадрат. Това направих. Ето го моето а. Повдигнат а на квадрат, 1,56 на квадрат. Записах - 2 по това първото по второто, като тук имам vt. Плюс b на квадрат, което е този краен член на квадрат. Това е 1,29 на квадрат по vt на квадрат. Имам тази голяма каша. Просто трябва да я поразчистя. Лявата страна все още е 102,65. Пак имам това 0,029vt на квадрат тук. Но трябва да умножа това 0,0225 по всичко в скобите. Ако направя това, имам + 0,0548. Това е 0,0225 по 1,56 на квадрат. После ще получа -0,0906vt. Това е 0,0225 по това цялото количество. Накрая получавам + 0,0374vt на квадрат. Това е 0,0225 по това количество тук. Нека определим всички vt. Тук имам vt, единично vt. Тук имам vt на квадрат. Мога да комбинирам този член vt на квадрат с този член vt на квадрат. Ще получа 0,066vt на квадрат минус 0,0906vt плюс 0,0548. Обещавам, наближава края. Ако извадим това 102,65 от двете страни, ще имаме 0 е равно на цялото това количество. После 0,0548 минус 102,65. Това ще е -102,595. Това тук е квадратно уравнение. Не може да решиш това, като просто опиташ да изолираш vt от едната страна. Това няма да проработи. Трябва да използваш формулата за корените. В тази формула този член тук, 0,06, ще е а. Това -0,0906 ще е b. Това -102,595 ще е с. Може или да направиш това по дългия начин на ръка или просто да използваш програма за решение с формула с корените. Такива са налични онлайн. Възможно е да имаш и на калкулатора си. Това ще направя. Ще направя това на калкулатора си. Двата отговора, които получавам от това, ще са, че vt или ще е равно на – получавам 40 като един отговор, 40 метра в секунда – или получавам -39 метра в секунда. Кое ще е? Дали ще е 40 или -39? Можем да намерим кое от двете е. Виж това vt тук, 40... Това е началната скорост, която вече имаше. Искаме крайната скорост. Защо това отново ни дава началната скорост? Понеже, както се оказва, един начин да запазим импулса и енергията, е тези тела просто да се подминат и да прелетят едно покрай друго. Ако топката за голф не се сблъска с топката за тенис и продължи напред, двете просто поддържат скоростта, която са имали в началото. Този случай ще съответства на това. Това е сблъсък, който не се е случил. Следователно знаем, че този сблъсък не е бил този, който търсим. Това е, ако не се сблъскат. Търсим тази скорост тук. След сблъсъка топката за тенис бива изблъскана назад със скорост от -39 метра в секунда. Как да намерим скоростта на топката за голф след сблъсъка? Имаме скоростта на топката за тенис. Всичко, което трябва да направя, е да въведа това обратно тук. Мога да получа каква е била скоростта на топката за голф. Скоростта на топката за голф сега ще е просто 1,56 минус 1,29 по това количество, -39. И ако умножа това, получавам около 52 метра в секунда. +52 метра в секунда за скоростта на топката за голф. Това означава, че тази топка за голф е била изблъскана обратно надясно, понеже това е положителна скорост. И е била изблъскана с големина на скоростта от 52 метра в секунда. Да обобщим какво направихме. Дадоха ни началните скорости и масите. Опитахме да използваме запазването на импулса и това беше добре, само че имахме две неизвестни. Така че трябваше да запишем още едно уравнение. Ако ни кажат, че този сблъсък е еластичен, знаем, че общата кинетична енергия е запазена. Записахме това уравнение, но и то имаше две неизвестни. Решихме уравнението за импулса и намерихме една от променливите, vg. Заместихме този израз тук за vg в тази кинетична енергия. Повдигнахме това на квадрат, имаше само едно уравнение с едно неизвестно. Но за нещастие това ни даде квадратно уравнение. Така че използвахме формула за корените, за да го решим. Една от скоростите съответстваше на началната скорост, която тялото имаше в началото. Не искахме нея, понеже това щеше да означава, че те изобщо не са се сблъскали. Взехме втората стойност. Искахме да намерим скоростта на първото тяло. Взехме това, въведохме го обратно в този израз тук. Получихме скоростта на другото тяло.