Сметки с Лоренцови трансформации

Нека разровим малко по-надълбоко в трансформациите на Лоренц. И, по-точно, нека сложим някои числа тук, за да се запознаем по-добре с работата с нея, а после ще започнем да разсъждаваме малко върху тази трансформация или, понякога се говори в множествено число, поведението на трансформациите. Нека изберем случая, при който приятелката ни преминава покрай нас – и това е същият случай, с който се занимавахме в предишни видеа – с някаква сравнителна скорост от гледна точка на моята отправна система, с половината от скоростта на светлината. Големината на нейната скорост е половината от скоростта на светлината. Тя се движи в положителна посока х и пространствено-времевите ни диаграми съвпадат в началната точка. Нека изберем едно събитие в пространство-времето. Да кажем, че на координатната ми система, в моята отправна система, събитието, върху което се фокусирахме в предишното видео, да кажем, че това е при х = 1 метър. Ще използвам същия цвят. х = 1 метър и да кажем, че времето, или ct, също е равно на 1 метър. И както казах преди, мисля, няколко видеа, можем да направим това като светлинен метър, времето, което е нужно на светлината да измине един метър. Ще кажем, че това също е 1 метър. В моята координатна система, в моята отправна система, това ще е точката (1; 1). 1 метър в посока х, 1 метър в посока ct. Сега, въз основа на това, помисли какви ще са координатите "прим". Какви ще са координатите в нейната отправна система? Окуражавам те да спреш видеото, да изчислиш Лоренцовия фактор, като използваш v и с, а после да изчислиш какви ще са х' и ct'. Добре, приемам, че се опита. Сега нека работим заедно. Първо, нека намерим колко е е Лоренцовият фактор. Всъщност нека първо намерим колко е бета. Това ще опрости всичко. Ще направя бета в синия цвят. Бета в този случай ще е равна на 0,5с. Това е нейната сравнителна скорост в моята отправна система. Отношението между това и скоростта на светлината, това ще е равно на 0,5. Можеш да гледаш на бета като на това с каква част от скоростта на светлината се движи този човек в моята отправна система, тъй като използваме това като основната отправна система. Нека помислим колко е гама, Лоренцовият фактор. Лоренцовият фактор ще е... Ще направя това в този червеникав цвят, а не в пурпурно. Той ще е – гама ще е 1 върху корен квадратен от 1 минус бета на квадрат. Бета на квадрат е 0,5^2, което ще е 0,25. Нека просто запиша 0,5^2, за да можеш да видиш какво правя. Това е 0,5^2 и ако изчислим това... Да видим, това ще е 1 - 0,25. Това ще е 0,75. Това ще е равно на 1 върху корен квадратен от 0,75, 1 върху корен квадратен от 0,75. Нека извадя калкулатора си. Можем поне да го изчислим приблизително. Да намерим корен квадратен от 0,75. Просто ще взема реципрочното на това. Приблизително 1,15. Лоренцовият фактор е приблизително 1,15. И сега, като използваме това, можем да намерим колко ще са х' и ct'. х' ще е равно на Лоренцовият фактор, който е приблизително 1,15. Може би ще запиша, че това ще е приблизително равно на 1... – ще направя това в същия цвят, днес ми е трудно да сменям цветовете – 1,15. 1,15 по – сега казваме, че х е 1 метър, тоест х е 1 метър минус бета, бета е 0,5... тоест 0,5. И казваме, че ct също е 1 метър, тоест по 1. И после t', или трябва да кажа ct', сt' ще е приблизително равно на Лоренцовия фактор, 1,1... – трудно ми е да сменям цветовете за Лоренцовия фактор – това ще е приблизително 1,15 по – ct е 1. Мисля, че можеш да видиш симетрия тук. Особено при това, понеже имаме същите координати х и сt. 1 минус бета, тоест 0,5 по х, което отново е 1. По 1. В този определен случай това се опростява до половината от Лоренцовия фактор, понеже това 1 минус 0,5 по 1, това ще е 0,5. Същото нещо тук – 0,5. Тези неща ще са приблизително равни на 0,5 по Лоренцовия фактор. Вече имах въведен Лоренцовия фактор в калкулатора си, така че нека просто умножа по 0,5. И получавам, че това е приблизително 0,5... – просто ще кажа, че е 0,58. 0,58. И, отново, мерните единици са метри. Въпреки че това е 1 метър и това е 1 метър, това х' тук е 0,58 метра и ct' също е 0,58 метра. Това е също равно на 0,58 метра. Един начин да помислим за това, ако точно когато двете ни... точно когато тя ме подминава при х = 0, време равно на 0 в отправната ми система, ако стрелям с лазерния си пистолет или ако включа фенерчето си и този пръв фотон започне да се движи – мога да помисля за неговия път през пространство-времето, той трябва да изглежда, този пръв фотон ще изглежда ето така. Когато мисля, че този един фотон е изминал 1 метър в положителна посока х и е изминал един светлинен метър време от отправната система на приятелката ми, тя ще каже: "Не, не, не, не." Да кажем, че точно в този момент стига до един астероид, осветява един астероид. Тя ще каже: "Не, не, не, не." Това се случи 0,58 светлинни метра след като тя ме подмине. И това се случи на 0,58 метра в положителна посока х. Случва се нещо много, много, много интересно. Окуражавам те да помислиш какво всъщност се случва с тези различни части на Лоренцовите трансформации. Най-интересното нещо, което се случва, всъщност всичко е интересно. Всъщност симетрията е интересна. Но Лоренцовият фактор – помисли какво се случва тук. Помисли какво се случва тук при ниски скорости, когато v е много, много, много малка част от скоростта на светлината. Тогава бета ще е много близо до 0, а тогава Лоренцовият фактор ще е много близо до 1. И помисли какво се случва, когато v се доближи до скоростта на светлината. Тогава това нещо просто бързо се покачва. Това нещо става по-голямо и по-голямо, и по-голямо, и виждаме, че знаменателят става по-малък и по-малък, и по-малък. Ако v беше равно на скоростта на светлината, тогава просто ще делиш на 0. Това е когато започват да се случват всякакви шантави неща. Окуражавам те да изпробваш различни числа. Използвахме много висока сравнителна скорост, половината от скоростта на светлината – изключително, изключително висока скорост. Опитай с нещо по-обикновено като скоростта на един куршум или нещо подобно. Но определено се запознай доста добре с това. И го преработи числово. Всъщност може би в следващото видео ще преработим това алтебрично, така че да можеш да съгласуваш начина, по който записах трансформацията, или трансформациите, на Лоренц с начина, по който може да го видиш в учебника си или в други ресурси.