Въведение в трансформациите на Лоренц

Вече успяхме да проучим много неща с нашия малък мисловен експеримент, при който се нося в Космоса. Аз съм в центъра на моята отправна система и точно при време равно на 0 в отправната ми система един приятел идва в космически кораб, който ме подминава със скорост v, ще кажа, че големината е v, и това се движи в положителна посока х. Ще се фокусираме – и се фокусирахме – просто върху измерение х, за да опростим нещата. И мислихме за съгласуването на Космос и време в отправната си система в сравнение с нейната отправна система. Главоблъсканицата, пред която бях изправен в предишни видеа, е как да съгласуваме това, че скоростта на светлината винаги ще е същата във всяка отправна система. И за да ги съгласуваме, трябваше да изнамерим идеята за пространство-времето. Трябва да го кажа още по-бързо – пространство-време. Нека го запиша – пространство-време. И първият път, когато чух за пространство-времето, предположих, че хората говореха просто за пространството и времето като независими неща и просто поставяме на графиката точката в пространството и времето. Но когато хората говорят за пространство-времето, те говорят за този континуум от едно нещо и просто говорим за различни посоки в пространство-времето. Можеха да го нарекат и по друг начин. Можеха да го нарекат коме или врекос, или косвре, или много различни неща. Но това е пространство-времето и е тази идея, че то е континуум. И когато започнахме да правим пространствено-времеви диаграми, осъзнахме, че за да може скоростта на светлината да е абсолютна, времето и пространството не са независими една от друга, както си мислехме, и не са толкова абсолютни, колкото си мислехме. И създадохме тези пространствено-времеви диаграми на Минковски за всяка от нашите отправни системи. Отправната ми система, пространствено-времевата диаграма е тук в бяло, а за отправната система на приятелката ми, нейната пространствено-времева диаграма е в този син цвят. Ъгълът, образуван между тези оси, между оста х и оста х' и ct и оста ct', този ъгъл алфа тук, това ще зависи от нейната сравнителна скорост в моята отправна система. Ако нейната скорост е v, или големината на нейната скорост е v, в моята отправна система, този ъгъл, както вече видяхме, ще е обратно пропорционалният тангенс, или арктангенсът, на съотношението между нейната сравнителна скорост и големината на скоростта на светлината. Това ще е равно на обратно пропорционалния тангенс на v върху с. Колкото по-бързо се движи тя, тези две неща ще започнат да се сближават, и ако някак тя се доближи до скоростта на светлината, и двете ще доближат ъгъл от 45 градуса и ще започнат да съвпадат, ако тя успее да се доближат до скоростта на светлината. И това вече е интересно – тази идея, че пространството и времето не са толкова независими, че всичко това е континуум, наречен пространство-време, но някои от вас вероятно казаха: "Искам да работя с по-осезателни числа тук. Например ако това събитие тук в пространство-времето... можем да мислим за него от моята отправна система и можем да мислим за него от нейната отправна система. В моята отправна система щях да гледам координатите тук. Тази координата ще е х, а тази координата тук ще е ct." Имахме цяло видео за това защо мислим за времето по отношение на ct. Мерните единици тук ще са метри. Можем да мислим за това като за светлинни-метри, ако искаме. Това ще са координатите в моята отправна система. Какви ще са координатите в нейната отправна система? Вече мислихме върху това как да разчитаме тези пространствено-времеви диаграми на Минковски. За да намерим нейната координата х', просто ще преминем успоредно на оста ct'. Това ще е координатата х' в нейната отправна система. За да намерим координатата ct', просто ще преминем успоредно на оста х'. Това ще е координатата ct'. Как ще преминеш между тях, ще трансформираш, от х в х' и от ct в ct'? За да направим това, в това видео ще се запознаем с трансформациите на Лоренц. И те ни позволяват да направим точно това, което трябва да направим. Позволяват ни да преминем от (х; ct) до (х'; ct'). За да ни помогнат да помислим за това, ще въведа някои променливи и се надявам, че това ще покаже симетрията на трансформациите на Лоренц. Може да ги видиш записани по други начини в други източници и ще съгласуваме всички тези в бъдещето. Но трансформациите на Лоренц – ще започнем с това, което наричаме Лоренцов фактор, понеже той често се появява в трансформацията. Просто ще определя това предварително. Лоренцовият фактор, обозначен с гръцката буква гама, малка гама, е равен на 1 върху корен квадратен от 1 минус v^2 върху с^2. Понякога може да го видиш записано така – ще го запиша по друг начин. Понякога може да го видиш записано като гама – нека направя това в същия цвят, същия червеникав цвят, гама е равно на 1 върху корен квадратен от 1 минус бета на квадрат. Може да попиташ: "Какво е това бета?" Бета е друга променлива, която често се появява, когато мислиш за специалната теория на относителността. И бета е просто отношението между относителната скорост, нейната относителна скорост в отправната ми система, и скоростта на светлината. Често се появява. Дори този ъгъл алфа тук – можем да кажем, че това е обратно пропорционалния тангенс от бета. Това става малко по-просто, когато запишеш Лоренцовия фактор. И когато гледаме реалната трансформация между координатите, ще видим, че бета отново става полезна, поне по начина, по който предпочитам да я запиша. Ако искам да помисля какво ще е х'... Можем да запишем, че х' ще е равно на Лоренцовия фактор – нека запиша това в този червен цвят – ще е равно на Лоренцовия фактор по х минус – и сега ще кажем бета по ct – и ct' ще е равно на Лоренцовият фактор гама – ще запиша това в същия цвят, променянето на цветовете понякога е трудно – гама по – и ще видим, че е просто обратното. Това ще е с... нека направя това в зелен цвят – ct минус – и може да предположиш какво ще запиша, въз основа на симетрията, която виждаме тук – ct минус бета по х. И искам да оцениш това, понеже наистина показва, че пространството и времето са просто различни посоки в пространство-времето и има хубава симетрия между тях тук. Забележи, имаме едно х и имаме едно х. Имаме едно ct и имаме едно ct. Когато мислим за х', това е х минус бета по ct и го умножаваме по Лоренцовия фактор, а после, когато мислим за времето, ще направим това по обратния начин. Пак го умножаваме по Лоренцовия фактор, но сега това е ct минус бета по х. Това може да ти изглежда като написано на гръцки – и всъщност използваме гръцки букви – но в следващото видео ще използвам някои примерни числа тук и ще видиш, че изчисляването на тези неща са просто лесни алгебрични изчисления.