Основно съдържание

Курс: 11. клас (България) - стара програма 2019/2020 > Раздел 5

Урок 2: Обратни тригонометрични функции

Въведение в обратните тригонометрични функции

Научи за аркуссинуса, аркускосинуса и аркустангенса и как те могат да бъдат използвани за намиране на неизвестен ъгъл в правоъгълни триъгълници.

Да разгледаме един нов тип тригонометрична задача. Интересното тук е, че тези задачи не могат да бъдат решени чрез синус, косинус или тангенс.

Задача: Каква е мярката на ъгъла

L

в триъгълника по-долу?

Това, което знаем: По отношение на

∠ L

знаем дължините на срещулежащия и прилежащия катет, затова можем да напишем:

tg (L) = \frac{срещулежащ катет}{прилежащ катет} = \frac{35}{65}

Но това не ни помага да намерим мярката на

∠ L

. Объркани сме!

Това, което ти е нужно: Нужни са ти нови математически инструменти, за да решаваш задачи като тази. Твоите стари приятели синус, косинус и тангенс не ти вършат работа. Те използват ъгли и дават отношения на страните, но на теб ти трябват функции, които използват отношенията на страните и дават ъгли. Необходими са ти обратни тригонометрични функции!

Обратни тригонометрични функции

Вече знаем за обратните математически действия. Например събирането и изваждането са обратни действия, както и умножението и делението са обратни действия. Всяко действие е противоположно на своето обратно действие.

Идеята в тригонометрията е същата. Обратните тригонометрични функции правят обратното на “нормалните” тригонометрични функции. Например:

Обратният синус $(\sin^{- 1})$ ‍ прави обратното на функцията синус.
Обратният косинус $(\cos^{- 1})$ ‍ прави обратното на функцията косинус.
Обратният тангенс $({tg}^{- 1})$ ‍ прави обратното на функцията тангенс.

По принцип, ако знаеш тригонометричното отношение, но не и ъгъла, можеш да използваш съответната обратна тригонометрична функция, за да намериш ъгъла. Математическият израз на това е показан по-долу.

При тригонометричните функции аргументите са ъгли, а стойностите са отношения на страните		При обратните тригонометрични функции аргументите са отношения на страните, а стойностите на функциите са ъгли
$\sin (θ) = \frac{срещулежащ катет}{хипотенуза}$ ‍	$\to$ ‍	$\sin^{- 1} (\frac{срещулежащ катет}{хипотенуза}) = θ$ ‍
$\cos (θ) = \frac{прилежащ катет}{хипотенуза}$ ‍	$\to$ ‍	$\cos^{- 1} (\frac{прилежащ катет}{хипотенуза}) = θ$ ‍
$tg (θ) = \frac{срещулежащ катет}{прилежащ катет}$ ‍	$\to$ ‍	${tg}^{- 1} (\frac{срещулежащ катет}{прилежащ катет}) = θ$ ‍

Внимавай да не се подведеш!

Изразът

\sin^{- 1} (x)

не означава същото като

\frac{1}{\sin (x)}

. Казано по друг начин,

- 1

не е степенен показател. Тук означава просто обратна функция.

Ако повдигнем число или променлива на степен

- 1

, тогава това е просто реципрочната стойност. Например

3^{- 1} = \frac{1}{3}

. По принцип, ако

a

е реално число, различно от нула, тогава

a^{- 1} = \frac{1}{a}

Но това не важи за

\sin^{- 1} (x)

. Това е така, защото синус е функция, не стойност!

По принцип, винаги когато видиш горен индекс

- 1

след една функция, това означава обратна функция. Например, ако

f

е функция, тогава

f^{- 1}

представлява обратната функция на

f

. Изразът

f^{- 1} (x)

представлява стойността на обратната функция за аргумента

x

Функция	Графика
$\sin (x)$ ‍
$\sin^{- 1} (x)$ ‍ (наричана още $\arcsin (x)$ ‍)
$\frac{1}{\sin x}$ ‍ (наричана още $cosec (x)$ ‍)

Но има и алтернативен начин за означаване, с който се избягва тази уловка! Можем да изразим обратния синус и като

\arcsin

, обратния косинус като

\arccos

, а обратния тангенс като

\arctan

. Този начин е често срещан в компютърните програмни езици и по-рядко в математиката.

Решаване на уводната задача

В уводната задача са ни дадени дължините на срещулежащия и прилежащия катет, следователно можем да използваме обратната функция на функцията тангенс, за да намерим ъгъла.

\begin{aligned} m ∠ L & = {tg}^{- 1} (\frac{срещулежаща страна}{прилежаща страна}) & Дефинираме. \\ m ∠ L & = {tg}^{- 1} (\frac{35}{65}) & Заместваме. \\ m ∠ L & \approx 28, 30^{\circ} & Пресмятаме с калкулатор. \end{aligned}

Да решим няколко практически примера.

Задача 1

Даден e $△ K I P$ ‍, намери $m ∠ I$ ‍.
Закръгли отговора си до най-близката стотна на градуса.

^{\circ}

Задача 2

Даден $△ D E F$ ‍, намери $m ∠ E$ ‍.
Закръгли отговора си до най-близката стотна на градуса.

^{\circ}

Задача 3

Даден е $△ L Y N$ ‍, намери $m ∠ Y$ ‍.
Закръгли отговора си до най-близката стотна на градуса.

^{\circ}

Задача с повишена трудност

Намери всички неизвестни в триъгълника. Тоест, намери всички неизвестни страни и ъгли.
Закръгли отговорите си до най-близката стотна.

O E =

m ∠ O =

^{\circ}

m ∠ Z =

^{\circ}

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.