Втора производна (неявна функция): намиране на израз

Нека да кажем, че е дадено уравнението у на квадрат минус х на квадрат е равно на 4. Нашата цел е да намерим втората производна на функцията у спрямо х, и искаме да намерим израз за нея, който е функция на х и у. Спри видеото и провери дали можеш да решиш задачата самостоятелно. Добре, нека сега да го направим заедно. Може би искаше да намериш у, а след това да използваш някои традиционни методи. Тук обаче имаме у на квадрат, така че може да се получи нещо с плюс или минус квадратен корен. Може би разбра, че може да се приложи диференциране на неявна функция, което реално е просто приложение на верижното правило. Нека да го направим. Нека да намерим първата производна на у спрямо х. За да го направя, просто ще намеря производната спрямо х на двете страни на уравнението. Какво получаваме тогава? Е, за производната спрямо х на у на квадрат ще използваме верижното правило. Първо може да намерим производната на у на квадрат спрямо у, което ще бъде равно на 2у и след това умножаваме по производната на у спрямо х. Още веднъж, това произлиза директно от верижното правило. После от този израз намираме на какво е равна производната на х на квадрат спрямо х. Е, това ще бъде просто 2х. На последно място, но не по важност, на какво е равна производната на константа спрямо х? Константата не се променя, така че ще бъде просто равна на 0. Добре, а сега може да решим уравнението относно първата производна на у спрямо х. Нека го направим. Може да добавим 2х към двете страни и ще получим, че 2у по производната на у спрямо х е равна на 2х. Сега мога да разделя двете страни на 2у и ще получа, че производната на у спрямо х е равна на х върху у. Следващата стъпка е да намерим производната на двете страни на това уравнение спрямо х. Тогава вероятно ще намерим втората производна на у спрямо х. За да си помогнем, нека да запиша уравнението по друг начин. Винаги забравям правилото за намиране производна на частно, въпреки че може да е полезно да го запомниш. Аз мога обаче да запиша това като произведение, което ще ми помагне. Ще запиша това като производната на у спрямо х е равно на х по у на степен минус 1. у на степен минус 1. Сега ако искаме да намерим втората производна, ще запишем означението за производна в двете страни на уравнението. Производна спрямо х. От лявата страна е точно това, което евентуално искаме да получим. Тоест втората производна на у спрямо х. А какво получаваме ето тук от дясната страна? Можем всъщност да приложим правилото за намиране производна на произведение. Първо, може да заявим, че производната на х спрямо х ще бъде равна просто на 1 по другото нещо, т.е. по у на степен минус 1. у на степен минус 1. След това имаме плюс х по производната на у на степен минус 1. И така, плюс х, по... На какво е равна производната на у на степен минус 1. Първо може да намерим производната на у на степен минус 1 спрямо у. Просто ще използваме правилото за намиране производна на степен. Производната на у на степен минус 1 ще бъде равна на минус 1 по у на степен минус 2. След това ще умножим този член по производната на у спрямо х, което е просто приложение на верижното правило, по dy/dx. Припомни си, че знаем на какво е равна производната на у спрямо х. Вече я намерихме. Равна е на х върху у. Следователно това ще бъде равно на х върху у. А сега просто следва да опростим този израз. Това ще бъде равно на... ще се опитам да го направя стъпка по стъпка. Тази част ето тук просто ще бъде равна на 1 върху у. Тогава нека да видим дали мога да опростя целия този израз. Този минус ще бъде изнесен отпред, така че имам минус, а след това ще имам х по х в числителя. Ще бъде разделен на у на квадрат, а след това разделен още веднъж на у. Следователно ще се получи минус х на квадрат върху у на степен 3... върху у на степен 3... или казано по друг начин, х на квадрат по у на степен минус 3. И сме готови. Току-що намерихме втората производна за у спрямо х, изразена чрез х и у.