Лице на триъгълник - доказателство

Сега вече знаем, как се намира лицето на правоъгълник. Това, което искам да направим в този урок,е да помислим, как се намира лице на триъгълник. Тук започваме с правоъгълен триъгълник. Той има ъгъл от 90 градуса. Триъгълникът АВС, нека помислим как можем да намерим лицето му. Вероятно ще можем да построим правоъгълник от триъгълника АВС. Ако построим правоъгълник от него, може би ще можем някак да намерим лицето като част от този правоъгълник. Най-добрият начин да построим нашия правоъгълник е като копираме АВС, прехвърлим го и го наложим тук отгоре. Само да проверим, че действително ще излезе правоъгълник. Знаем, че този ъгъл тук е 90 градуса. Да кажем, че този там е х градуса. Имаме х плюс 90 плюс това, трябва да е равно на 180. Т.е. това и това трябва да допълнят до 90, така че нека тук мярката е 90-х. Сега нека пресметнем това и го завъртим. Имаме нещо такова. Ние знаем, че този ъгъл тук е 90 градуса. Да кажем, че този тук е x градуса. Имаме х+90+този ъгъл тук, и това трябва да бъде равно на 180. Така, че сборът на този ъгъл и другият трябва да е не повече от 90. Затова нека наречем този ъгъл 90-х. Сега, нека да обърнем този триъгълник, така, че да изглежда по този начин. Вече би трябвало да имате друг триъгълинк, който, да изглежда по този начин. Където сега, този прав ъгъл, на завъртяния триъгълник е този прав ъгъл тук. Този ъгъл тук, х, сега е този ъгъл тук. И този 90-х сега е този ъгъл тук. Сега се вижда, че х+90-х, е прав ъгъл. И х+90-х, е прав ъгъл. Вече имаме четири страни и четири прави ъгъла, и това определно е правоъгълник. И в този правоъгълник има два от първоначалните ни триъгълници. И така.. можем да напишем...,можем да напишем че лицето на триъгълника АВС, това в скобите, означава лицето на АВС, лицето на триъгълник АВС, ще бъде равно на половината от лицето на целия правоъгълник. И целият правоъгълник..нека добавя още една точка тук. Нека я нарека D... ще бъде половината от лицето на правоъгълника ABCD. Знаем как да намерим лицето на правоъгълника ABCD. То е равно на.. тя е равна на основата на правоъгълника. Това ще е равно на 1/2, умножено по тази част тук. Нека използвам друг цвят. Лицето на ABCD е равно на основата или широчината на правоъгълника. Това е дължината на ВС. Това тук го слагам в скоби, то не означава, че... ВС е просто дължината на тази част тук. Поставям скобите, за да не смесваме буквите. Така че ще е налице тази широчина или тази основа тук, умножена по височината на правоъгълника. Така, по AD. Умножено по, извинявам се, по АВ. Така че това е тази основа, умножена по тази височина, което ни дава лицето на целия този правоъгълник. А лицето на правоъгълен триъгълник е половината на това. Така, готови сме. Така че имаме 1/2, умножено по тази основа, по тази височина. Това е лице на правоъгълен триъгълник. Така че, в общи линии, ако някога си имаме работа с правоъгълен триъгълник, ако някога имаме правоъгълен триъгълник, а това там е прав ъгъл, т.е. нужен е един прав ъгъл за да бъде триъгълника правоъгълен. А тази основа е с дължина b, а тази страна тук е с дължина h. Знаем, че лицето, лицето ще е равно на 1/2 по основата на триъгълника. Това е основата на триъгълника, ВС, по височината на триъгълника. Така че можем да го разглеждаме по този начин, ако погледнем конкретните точки. А ако използваме тези мерки като основата по височината, то имаме 1/2 по основата по височината. И знаем единствено факта, че това важи за правоъгълен триъгълник. Нека сега помислим за други видове триъгълници, които не са задължително правоъгълни триъгълници. Така, тук имам един произволен триъгълник, АВС. И за да мога да намеря лицето му, това, което искам да направя е да го разделя на два правоъгълни триъгълника. И това, което ще направя, ще спусна перпендикуляр от В, така че реално, ако това е една действителна структура, то буквално ще спуснем нещо надолу от тук, и тази права ще е перпендикулярна на тази основа тук, на АС. И нека нарека тази точка, нека тази точка е D. И полезното тук е, че построихме, разделихме този триъгълник на два правоъгълни триъгълника. И можем да кажем, че лицето, нека го запиша така, можем да кажем,че лицето на триъгълника АВС, него искаме да намерим. То е равно на лицето на този триъгълник тук. Равно е на лицето на триъгълника ABD + лицето на триъгълника, + лицето на триъгълника оцветен в това червено. Така, плюс лицето на BCD. И това е полезно, понеже знаем как се намират лица на правоъгълни триъгълници. Сега, това очевидно е ъгъл от 90 градуса, и този също ще е 90 градуса. Лицето на ABD е 1/2 по височината. Така, че то ще е равно на 1/2 по основата, която е страната AD. Така, 1/2 по AD, по височината, която е с дължината на BD тук, приемаме, че можем да пресметнем това. Така, това по тази отсечка, BD. Това е лицето на синия триъгълник, ще намеря и лицето на червения триъгълник. Той също е правоъгълен. Лицето му ще е равно на 1/2, нека оцветя в червено. Използвам червения цвят. Ще е равно на 1/2 по тази основа тук, която е DC, дължината на страната DC, отново по дължината на BD. Сега можем да изведем 1/2, извеждаме 1/2 от BD за тези два члена, 1/2 BD. Получаваме 1/2 BD по AD, останала ни е AD, и това не е същия оттенък на синьото. Остава AD + DC. Затваряме скобите. А какво дава AD + DC? AD е дължината, тази дължина. А DC е тази дължина. Така че ако ще събираме с тези две дължини, получаваме дължината на АС. Така че цялото това нещо е дължината на АС. И остава лицето на АВС да е равно на, ще използвам нов цвят, то е равно на 1/2, тук ще разменя реда. 1/2, което ще запиша в същия този цвят, АС по BD. Какво означава това? Сега имаме 1/2 по основата, която е АС, височината, която е BD. Хубаво се получава. Свърши работа при правоъгълните триъгълници, и всъщност, ако знаем височината на даден триъгълник. Така, сега това не е една от страните. При правоъгълния триъгълник беше една от страните. При този произволен триъгълник не е така. Но ако знаем, лицето на този триъгълник пак ще е 1/2 по основата по височината. А какво да кажем за триъгълник като този? Как можем да намерим лицето му? Ами, нека се опитаме да направи същото. Да видим дали можем по някакъв начин да построим така, като тръгнем от правоъгълни триъгълници, или може би да построим правоъгълен триъгълник оттук, като построим друг правоъгълен триъгълник. А най-лесният начин да го направим, е като спуснем перпендикуляр от тук. И тогава това, като се спусне, стига основата, като образува прав ъгъл с нея. И нека тази точка е D. И това, което ни интересува, това, което искаме да намерим тук, лицето на това, което искаме да намерим, искаме да намерим лицето на триъгълник АВС. Това ни интересува. Триъгълник АВС е този, на който търсим лицето. Но лицето на триъгълник АВС ще е равно на лицето на този по-голям триъгълник, който построихме. Това ще е този по-голям триъгълник. Минус лицето на този по-малък триъгълник тук. Така, минус лицето на ADC. Така, този синия, ADB, това си е цялото нещо. Това е цялото нещо, така че е ясно за какво говорим. Така, какво е лицето на ADB? Ами, знаем как се намират лицата на правоъгълни триъгълници. ADB, лицето на ADB ще е, то ще е 1/2 по нашата основа, която е DB, DB е височината, която е с дължината на AD. Умножено по AD. И тогава от това искаме да извадим лицето на по-малкия триъгълник. Така ще имаме 1/2 по нашата основа, която е DC, това е дължината на основата, DC, умножена по височината, която е AD, AD. И тук можем да изведем 1/2, както и AD. 1/2, и AD, нека го направим. Извеждаме 1/2 по AD. И това, което остана вътре е DB минус DC. Нека пак направя скобите в бяло. Така, ако вземем дължината, DB е дължината на цялата страна тук. Изваждаме от нея DC, и ще получим СВ. Та тази разлика тук, това е С, това е СВ. От там лицето на АВС ще е равно на 1/2 по СВ, просто разменям реда при умножението с жълт цвят. 1/2 по СВ по AD. Така, какво е това? Пак да кажем, че това е половината от основата по височината. И пак, височината в този случай, понеже това не е правоъгълен триъгълник, тази страна не е една от страните. Трябва тази информация да е дадена. Ще трябва да намерим каква е реалната височина. Но това, което е нужно е, при всички видове триъгълници, лицето е 1/2 от основата по височината. Височината е, един вид, ако имаме страните на правоъгълен триъгълник, лесно се намира. За тези другите, ако не е дадена, може да се налага да го направим по хитър начин, да намерим някак височината. Но както и да е, надявам се, че материалът беше полезен.