Вероятности и използване на диаграма на Вен

Нека се позанимаваме с вероятности и карти за игра. Нека приемем в този клип, че в тестето ни с карти няма жокер. Можем да решим същите задачи и с жокер, но ще получим малко по-различни числа като резултат. Така, това го изяснихме. Сега първо да помислим колко карти има в едно стандартно тесте. Имаме 4 бои. Те са: пика, каро, спатия и купа. Четири бои. И във всяка от тези бои имаме 13 различни вида карти. Всяка боя съдържа по 13 вида карти. Имаме асо, после двойка, тройка, четворка, петица, шестица, седмица, осмица, деветка и десетка. И после имаме вале, дама и поп. Това прави 13 карти. От всяка боя можем да получим всяка от тези карти и всяка от тези карти може да е от всяка от боите. Значи, можем да имаме вале каро, вале спатия, вале пика или вале купа. Можеш просто да вземеш тесте карти, да извадиш жокерите и да ги преброиш. Но можеш просто да умножиш тези две неща. Имаш четири бои и по тринайсет вида карти в боя. Това прави 4 пъти по 13 карти. Значи имаме 52 карти в стандартно тесте. Може да разгледаме това и по друг начин: Имаме 13 вида карти и всеки от тях може да бъде от 4 бои. Още веднъж, 13 по 4 прави 52 карти. Сега, след като уточнихме това, да помислим за вероятностите да се случат различни събития. Да кажем, че съм разбъркал тестето много, много добре. И после взимам една карта от него. Искам да помислиш каква е вероятността картата да е вале. Колко еднакво вероятни случая имаме? Мога да извадя която и да е от 52-те карти, значи има 52 различни възможности за карта. Колко от тези 52 възможности са валета? Имаме вале пика, вале каро, вале спатия и вале купа. Има 4 валета в това тесте. Значи това е 4 върху 52 – и двете се делят на 4, 4 делено на 4 е едно, 52 делено на 4 е 13. Сега започваме отначало. Слагам валето обратно в тестето и пак разбърквам картите. Пак имам точно 52 карти. Каква е вероятността да изтегля купа? Каква е вероятността да изтегля произволна карта от едно тесте и тя да е купа? Отново имам 52 карти, от които да тегля, или 52 еднакво вероятни събития. В колко от тях ще имам купа? Купите са 13. От всяка боя имаме по 13 вида карти, значи в това тесте има 13 купи. Има и 13 пики, 13 спатии... Значи в 13 от 52-те случая ще получим купа. И двете числа се делят на 13, това е същото като 1/4. Или ще имам една четвърт шанс да получа купа, когато изтегля произволна карта от размесено тесте. Нека сега се заемем с неща, които са по-интересни и може би по-малко очевидни. Каква е вероятността да изтегля карта, която е и вале, и купа? Ако познаваш картите, знаеш, че има само една карта в тестето, която е и вале, и купа. Значи, каква е вероятността да изтеглим точно тази карта – вале купа? Има само едно събитие или една карта, която отговаря на критериите ни и имаме общо 52 карти. Значи има шанс 1 от 52, че ще изтегля вале купа – картата, която е и вале, и купа. Сега да направим нещо по-интересно. Каква е вероятността – можеш да сложиш на пауза и да помислиш – каква е вероятността, ако пак имаме тесте от 52 карти, разбърквам го и тегля карта – каква е вероятността каква е вероятността тази карта да бъде или вале, или купа? Може да е вале купа, но може и да е вале каро или вале пика, или пък дама купа. Или, например, двойка купа. Каква е вероятността за това? Тук става по-интересно – първо, знаем, че има 52 възможни карти, но колко от тях отговарят на условията – или вале, или купа? За да разбереш това, ще начертая диаграма на Вен. Звучи сложно, но всъщност не е сложно. Представи си, че правоъгълникът, който чертая тук, представлява всички възможни изходи. Ако искаш, можеш да си представиш, че има площ 52. Това са 52 възможни изхода. В колко от тях ще имаме вале? Вече говорихме за това, един на 13 от тези изходи ще бъде вале. Мога да направя едно кръгче с тази площ. Чертая приблизително. Това е вероятността да имам вале. Това трябва да е около 1/13 или 4/52 от тази площ. Ще го начертая така. Така, това тук ни е вероятността да получим вале. Има 4 такива карти от 52-те. Значи вероятността е 4/52 или 1/13. А каква е вероятността да получим купа? Ще направя още едно кръгче, което да обозначи това 13 от 52. 13 от тези 52 карти са купи. И една от тях всъщност е и купа, и вале. Значи кръговете ще се застъпят, ще ти обясня това след секунда. Имаме 13 карти, които са купа. Това е броят на купите. Всъщност ще го запиша по същия начин отгоре. Така ще стане по-ясно, гледахме броя на валетата. И застъпването ни е броят на валетата и купите. Броят на елементите, които са и вале, и купа. Те са в двата вида карти – и в зеления и в оранжевия кръг. Ето тази част, в жълто, тъй като решавах тази задача в жълто. Това е броят на валетата и купите. Нека сложа една стрелка тук. Малко е претрупано, трябваше да го направя по-едро. Броят на валетата и купите. И тук има застъпване, значи каква е вероятността да получа или вале, или купа? Ако помислиш за това, вероятността ще бъде броят на събитията, които отговарят на условията, върху общия брой на събитията Знаем, че общият брой на събитията е 52. Но колко от тях отговарят на условията? Това ще бъде броят на... може да кажеш... Виж: зеленият кръг ни дава броя на валетата, а оранжевият кръг ни дава броя на купите. Може да си кажеш: защо не съберем зелената и оранжевата площ, но ако направим това, ще имаме двойно преброяване. Ако просто ги съберем – 4 плюс 13, какво казваме? Казваме, че има четири валета и тринайсет купи, но в този случай броим валето купа и двата пъти. Слагаме едно вале купа тук и едно вале купа тук. Тоест, броим валето купа два пъти, въпреки, че имаме само една такава карта. Значи трябва да извадим застъпващите се събития. Трябва да извадим елемента, който е едновременно вале и купа. Затова вадим 1. Има и друг начин да разглеждаме това. Намираме общата площ тук. Нека уголемя образа. Малко ще обобщя. Имаме един такъв и един такъв кръг, ето как се застъпват. Искаме да намерим общата площ на двата кръга, взети заедно. Ще вземем площта на този кръг и ще я съберем с площта на този кръг. Но ще видиш, че ако направиш това, броиш тази площ два пъти. За да я преброиш само веднъж, трябва да извадиш тази площ от сумата. Ако тази площ е А, тази площ е В, и площта, в която се застъпват, е С, общата площ ще бъде А плюс B минус мястото на застъпването, т.е. минус С. Това е същото нещо. Броим всички валета и те включват вале купа. Броим всички купи и те включват вале купа. Значи сме преброили вале купа два пъти, значи трябва да извадим едно от тази сума. Значи 4 плюс 13 минус 1. Или това ще е 16/52. И двете се делят на 4. Значи това ще е същото като... 16 делено на 4 прави 4, 52 делено на 4 е 13. Готово, има шанс 4/13 да изтеглим вале или купа.