Рационални неравенства: едната страна е нула

В това видео искам да решим няколко задачи с неравенства, които са доста заплетени. Може би ще кажеш: " Не са ли всички задачи с неравенства заплетени?" В известна степен вероятно имаш право. Но нека започнем с първата задача. Имаме х минус 1 върху х плюс 2 е по-голямо от 0. В действителност ще ти покажа два начина да го решим. Първият начин мисля, че е в известна степен по-прост. Но ще ти покажа и двата метода, за да прецениш, кой от тях ти е по-лесен. Първият начин, за който се сещам, е ако имаме просто някакво число, делено на друго число и ти кажа, че това ще бъде по-голямо от 0. Трябва само да си спомним свойствата за умножение и деление на отрицателни числа. При каква ситуация тази дроб ще бъде по-голяма от 0? Тя ще бъде по-голяма от 0, само ако и двете числа са -- така че можем да напишем, че а и b са, и двете, по-големи от 0. Това е едно от обстоятелствата, при които това определено ще бъде вярно. Имаме положително, делено на положително; това определено ще бъде положително число. То определено ще бъде по-голямо от 0. Или можем да имаме ситуация, при която имаме отрицателно делено на отрицателно. Ако имаме един знак, разделен на същия знак, това също ще бъде положително число. Така че имаме "или" а е по-малко от 0 и b е по-малко от 0. Когато имаш някакъв вид рационален израз като този, който да е по-голям от 0, има две ситуации, при които това неравенство ще бъде вярно. Числителят и знаменателят са и двата по-големи от 0 или двата са по-малки от 0. Нека го запомним и в действителност да решим тази задача. Има две ситуации, за да решим задачата. Първият е, когато и двете са по-големи от 0. Ако това и това са по-големи от 0, ще сме добре. Можем да кажем, че при първата ситуация -- ще начертая малко дърво -- имаме х минус 1 е по-голямо от 0 и х плюс 2 е по-голямо от 0. Това е еквивалентно на това. Горното и долното -- ако и двете са по-големи от 0. тогава като ги разделим ще получим нещо по-голямо от 0. Другият вариант, който преди малко видяхме, е ако и двете са по-малки от 0. Другият вариант е х минус 1 е по-малко от 0 и х плюс 2 е по-малко от 0. Ако и двете са по-малки от 0, тогава ще имаме отрицателно делено на отрицателно, което ще бъде положително число. Което ще бъде по-голямо от 0. Нека всъщност решим неравенството при двете обстоятелства. х минус 1 е по-голямо от 0. Ако прибавим 1 към двете страни, получаваме х е по-голямо от 1. Ако решаваме х плюс 2 е по-голямо от 0, тогава ако извадим 2 от двете страни на уравнението -- не забравяй, че правя това сега -- получаваме х е по-голямо от минус 2. Така че за да бъдат и двете верни -- с този леко кафяв или червен цвят, както го виждаш -- за да бъдат и двете верни, х трябва да е по-голямо от 1 и х трябва да е по-голямо от минус 2. Намерихме, че това твърдение означава, че х трябва да е по-голямо от 1, а това твърдение ни показва, че х трябва да е по-голямо от минус 2. Ако х е по-голямо от 1 и х трябва да е по-голямо от минус 2, е ясно, че х трябва да е по-голямо от 1. 0 няма да удовлетворява неравенството, защото е по-голямо от минус 2, но не е по-голямо от 1. За да бъде нещо по-голямо от 1 и минус 2, то трябва да бъде по-голямо от 1. В целия този ред на мисли, където казвам, че числителят и знаменателят са по-големи от 0, това ще се случи само, ако х е по-голямо от 1. Защото ако х е по-голямо от 1, тогава то определено ще бъде по-голямо от минус 2. Всяко число след 1 е определено по-голямо от минус 2. Така че това е ситуация, при която уравнението е вярно, като дори можем да го проверим. Нека кажем, че х е 2. 2 минус 1 е 1 върху 2 плюс 2. Това е 1/4. Имаме положително число. Сега нека разгледаме ситуация, при която и двете са отрицателни. Ако х минус 1 е по-малко от 0, ако прибавим 1 към двете страни на това уравнение, това ни показва, че х минус 1 е по-малко от 0. Това е същото -- ако прибавим 1 към двете страни -- като да кажем, че х е по-малко от 1. Така че това условие се свежда до това условие. Това условие, х плюс 2 е по-малко от 0. Ако извадим 2 от двете страни, получаваме х е по-малко от минус 2. Следователно това условие се свежда до това условие. Така че за да бъдат и двете отрицателни, числителят и знаменателят трябва да бъда отрицателно число -- знаем, че х трябва да е по-малко от 1, и х трябва да е по-малко от минус 2. Ако нещо трябва да е по-малко от 1 и трябва да е по-малко от минус 2, то трябва само да е по-малко от минус 2. Всичко по-малко от минус 2 ще удовлетворява и двете условия. Така че това се свежда само до х може да бъде също по-малко от минус 2. И не забравяй, че това е "или". Или числителят и знаменателят са положителни, или двата са отрицателни. И двата да са положителни се свежда до х може да е по-голямо от 1 или двете да се отрицателни се свежда до х е по-малко от минус 2. Така че решението е х може да е по-голямо от 1 или -- това е ако и двете са положителни -- или х е по-малко от минус 2. Това е ако и двете са отрицателни. Ако искахме да го начертаем на числова ос -- нека начертая една числова ос ето така. Това може да е 0 и след това имаме 1, така че х може да е по-голямо от 1. Не по-голямо или равно. Така че поставяме малко кръгче там, за да покажем, че не включваме 1. Всичко, по-голямо от 1, ще удовлетворява това уравнение. Или всичко, по-малко от минус 2. Имаме минус 1, минус 2, всичко по-малко от минус 2 също ще удовлетворява уравнението, като прави числителя и знаменателя отрицателни. Като можеш да го провериш. Минус 3. Минус 3, минус 1. Просто ще го изчисля, минус 3, минус 1 е равно на минус 4. Тогава минус 3 плюс 2. Минус 3 плюс 2 е равно на минус 1. Минус 4 делено на минус 1 е плюс 4. Така че всички тези отрицателни числа също ще свършат работа. Казах ти, че ще ти покажа два начина за решаване на тази задача. Нека ти покажа друг начин, ако този ти се струва малко объркващ. Другият начин -- нека препиша задачата. имаш х минус 1 върху х плюс 2 е по-голямо от 0. Всъщност нека ги смесим малко и можеш да приложиш същата логика. Нека кажем, че е по-голямо или равно -- всъщност не. Ще го оставя по същия начин, а може би в следващото видео ще използвам случая, при който имаме по-голямо или равно, защото наистина не искам -- може би ще искам да увелича нивото на трудност с една стъпка. Просто казваме, че х минус 1 върху х плюс 2 е просто по-голямо от 0. Едно от нещата, които може би ще кажеш, е че ако имам рационален израз като този, може би умножавам двете страни на уравнението по х плюс 2. Така че ще се отърва от него в знаменателя и мога да го умножа по 0 и да го махна от пътя си. Но задачата е, ако умножиш двете страни на едно неравенство по дадено число -- ако умножиш по положително, запазваш неравенството същото. Но ако умножиш по отрицателно, трябва да смениш знака на неравенството, като не знаем дали х плюс 2 е положително или отрицателно. Така че нека го направим при и двете ситуации. Нека използваме ситуацията, при която х плюс 2 -- ще го напиша по този начин. х плюс 2 е по-голямо от 0. След това другата ситуация е когато -- нека го напиша с различен цвят. Където х плюс 2 е по-малко от 0. Има две възможности за х плюс 2. Всъщност, може ли при тези ситуации х плюс 2 да е равно на 0? Ако х плюс 2 трябва да е равно на 0, тогава целия този израз ще бъде неопределен. Така че това определено няма да е ситуация, която искаме да получим. Това ще бъде неопределена ситуация. Това са двете ситуации, при които умножаваме и двете страни. Ако х плюс 2 е по-голямо от 0, това означава, че х е по-голямо от минус 2. Можем да извадим 2 от двете страни на това уравнение. Ако х е по-голямо от минус 2, тогава х плюс 2 е по-голямо от 0. След това можем да умножим двете страни на това уравнение по х плюс 2. Имаме х минус 1 върху х плюс 2 е по-голямо от 0. Ще умножа двете страни по х плюс 2, което приемем, че е положително, защото х е по-голямо от минус 2. Умножавам двете страни по х плюс 2. Тези се съкращават. 0 по х плюс 2 е само 0. Оставаш само с х минус 1 е по-голямо от -- това се опростява до 0. Решаваме го за х, прибавяме 1 към двете страни и получаваме х е по-голямо от 1. Видяхме, че ако х плюс 2 е по-голямо от 0 или бихме могли да кажем, ако х е по-голямо от минус 2, тогава х също трябва да е по-голямо от 1. Или може да кажеш, че ако х е по-голямо -- можеш да го направиш по двата начина. Но казваме, че и двете трябва да са верни. Ако х удовлетворява и двете, то просто трябва да е по-голямо от 1. Защото ако е по-голямо от 1, то определено ще удовлетворява това условие тук. За това разклонение получаваме решението х е по-голямо от 1. Това е едната ситуация, при която х плюс 2 е по-голямо от 0. Другата ситуация е х плюс 2 е по-малко от 0. Ако х плюс 2 е по-малко от 0, това е еквивалентно на х е по-малко от минус 2. Просто изваждаш 2 от двете страни. Ако х плюс 2 е по-малко от 0, какво трябва да направим, когато умножим двете страни -- нека го направим. Имаме х минус 1 върху х плюс 2. Имаме някакво неравенство и след това имаме 0. Ако умножим двете страни по х плюс 2, х плюс 2 е отрицателно число. Когато умножим двете страни на едно уравнение с отрицателно число, трябва да сменим знака на неравенството. Следователно знакът за по-голямо ще стане знак за по-малко, защото приемаме, че х плюс 2 е отрицателно. Тези се съкращават. 0 по всичко е 0. Получаваме х минус 1 е по-малко от 0. Решаваме го за х, прибавяме 1 към двете страни, х е по-малко от 1. В случая, при който х плюс 2 е по-малко от 0 или х е по-малко от минус 2, х трябва да е по-малко от 1. Искам да кажа, че знаем, че ако кажеш, че нещо трябва да е по-малко от минус 2 и по-малко от 1, казваш само, че е по-малко от минус 2. Всичко по-малко от минус 2 ще удовлетворява това условие. Но не всичко, което удовлетворява това ще удовлетворява и това. Това е единственото условие, което ни интересува. В случая, при който х плюс 2 е по-малко от 0, просто можем да кажем, че х трябва да е по-малко от минус 2. Това ще удовлетворява това уравнение. Крайният резултат е х ще бъде или по-голямо от 1, или х ще бъде по-малко от минус 2. Отново мога да го начертая на числовата ос. х е по-голямо от 1 ето там. Имаш 0, минус 1, минус 2. След това имаш х е по-малко от минус 2, не включваме минус 2. Ето по този начин. Като това е точно същият резултат, който получихме тук горе. Така че можеш да използваш варианта, който намираш за по-лесен. Но виждаш, че и двата са малко нюансирани, и трябва да помислиш малко, какво се случва, когато умножаваш или разделяш на положителни, или отрицателни числа.