Закон на Бойл

Робърт Бойл е ирландски учен, живял през 17-и век. От експериментите му получаваме закона на Бойл, който предшества закона за идеалния газ, за който вече говорихме. Ще тръгнем наобратно и ще използваме закона на Бойл, за да докажем част от закона за идеалния газ. Междувременно ще научим малко исторически факти, което винаги е забавно. Бойл експериментирал с газове и имал голяма J тръба на входа на дома си. Доста странно е да имаш нещо такова у дома. Той уловил газ в тази J тръба и запълнил дъното на тръбата, но с малко живак, който уловил този газ от затворената страна, понеже живакът е доста плътна течност и на газа му е трудно да се движи през него. Така уловил малко от този газ от другата страна. Това оставило отворената страна изложена на атмосферата, така че имаш налягането на газа от едната страна и налягането на атмосферата от другата. Знаем, че те упражняват еднакво налягане, понеже, както е казано, височината на живака била еднаква от двете страни. Нещата стават много интересни, когато се добави още малко живак, понеже сега, когато двете нива не са изравнени, вместо това се компенсирали. Това означавало, че налягането на уловения газ тук е по-голямо от атмосферното налягане. Така че газовото налягане било равно на атмосферното налягане плюс налягането на течността от разликата във височината. Може да мислиш, че газът бута надолу върху тази част от живака със същата сила или със същото налягане, с което атмосферата бута надолу тук, плюс тази част от течността, бутаща надолу. Той добавил още малко живак, което притиснало газа още повече, намалявайки обема му, и открил, че имало още по-голяма компенсиране на двете височини на течността. Той правилно предположил, че това означава, че газът прилага още повече налягане, понеже сега налягането на газа е равно на атмосферното налягане плюс още от височината на течността. Робърт Бойл направил графика на данните и това са стойностите, които получил в средата на 17-и век. Той поставил обема в кубични инчове и поставил налягането в милиметри живачен стълб, и измервал разликата във височината за налягането. За начало обемът му бил 117,5 кубични инча и налягането било 12 инча живак. Когато добавил в J тръбата още малко живак, той имал обем от 87,2 и налягане от 16 инча живак. Като продължавал да добавя, той получил обем от 70,7 с налягане от 20 инча и продължил с обем от 58,8 и налягане от 23 инча, и продължил, и получил 44,2 и 32, и продължавал да добавя и получил 35,3 кубични инча и 40 инча живак, а последната стойност била 29,1 инча живак. Това бил обемът, до който успял да го компресира, и 48 инча живак за налягането. Той построил диаграма с тези данни: налягането като функция на обема. Диаграма за налягането като функция на обема. Ако разгледаме налягането, приблизително най-високо е при 48 инча, така че ще направим това 50, а в средата да кажем, че е 25. Това е един вид гранична стойност. Ако погледнеш обема, най-високият е 117, така че ще отбележа 100 и ще отида малко отвъд, а после можем да запълним графиката. 50, 25 и 75 кубични инча за обема. Виждаме, че когато обемът ни е 117,5, налягането ни е 12, това трябва да е някъде тук. Виждаме, че когато обемът е 87,2, налягането се покачва малко до 16, а когато имаме обем при 70,7, налягането ни е около 20, така че това ще е някъде тук. Когато обемът ни е около 60, имаме налягане 24. Когато обемът се покачва до 44,2, имаме обем около 32, това е някъде тук. После 35,3 за обема и около 40 за налягането. Точно под налягане 48 обемът ще е около 29, някъде тук. Когато поставим на графика налягането като функция на обема, получаваме хипербола. Когато обемът спада наполовина, отиваме от около 50 до 100, налягането се удвоява, а когато обемът става от 50 на 25, преминаваме от 25 до 50 за налягането или някъде там. Имаме обратнопропорционална зависимост между налягането и обема. Ако представим графично зависимостта на обема от реципрочната стойност на налягането, получаваме тази крива. Получаваме обема като обратно- пропорционална функция от налягането. Ще ни трябват реципрочните стойности за налягането. 1/12 – реципрочната стойност на 12 е 0,08. 1/16 е реципрочната стойност на 16, което е около 0,0625. Ако продължим да намираме реципрочните стойности на тези налягания, ще получим 0,05 за 20 и после на 24 ще е около 0,042. 1/32 ще е 0,03125, а за 40 ще е 0,025. 1/40 е 0,025, а 1/48 е 0,0208. Можем да поставим на графиката с тези стойности. Най-високата реципрочна стойност за налягането, която имаме, е 0,08, а после най-ниската е 0,02, така че можем да запълним това тук. Все още работим със същите стойности за обема, така че най-високият е малко над 100, а после можем да поставим 50 и 25, и 75. Когато обемът е 117,5 кубични инча, реципрочната стойност на съответното налягане е около 0,08. Като слизаме надолу, 87,2 съответства на 0,0625, а 70,7 на 0,05, точно в средата, за 58,8, което е около 60, съответства на 0,042, а на 44,2 съответства 0,03125. за 35,3 ще е 0,025, за 29,1 ще е 0,0208. Това не е перфектна графика, но виждаме, че когато поставим обема като функция на реципрочната стойност на налягането, получаваме права линия. Ако запишем уравнението на права, то е у равно на mx + b. Това е уравнението за тази графика, където m е наклонът, а b е ординатата на пресечната точка с оста у. Ординатата на пресечната точка с оста у тук е нула, така че ни трябва у = mx. На нашата графика у съответства на обема, а х е реципрочната стойност на налягането, така че нека запълним това. Ако наремеч наклона К, вместо m, ако просто използваме различна буква, тогава ще получим, че V = K*(1/P). Като умножим двете страни по Р, получаваме PV = K или, с други думи, произведението на обема и налягането за един газ е константа, точно както виждаме в закона за идеалния газ. Нека проверим това, като се върнем обратно към оригиналните стойности, които Робърт Бойл използвал. Ако измерим произведението на налягането и обема тук, ще видим, че 117*12 е точно около 1400, а 87*16 е около 1400 и, всъщност, всички тези обеми, умножени по налягането, тяхното произведение винаги е почти точно 1400. Едно чудесно приложение на тази концепция е, че ако броят молове и температурата на един идеален газ са постоянни, тогава произведението от началното налягане и обем (Рi и Vi) ще е равно на произведението на крайното налягане и обем (Рf и Vf), f като крайно (final). Нека опитаме да използваме това в пример. Ако налягането на газ в 1,25-литров съд в началото е 0,872 атмосфери (бел. по-добре да се използват паскали, Ра), какво е налягането, ако обемът на съда се увеличи до 1,5 литра, като приемем, че температурата не се променя? Знаем, че ако това е затворен съд, броят частици няма да се промени, така че моловете остават постоянни. Нека използваме тази идея, че P1V1 = P2V2 и че началното ни налягане е 0,872 атмосфери, а началният обем е 1,25 литра. Търсим крайното налягане, когато крайният обем е 1,5 литра. Първото нещо, което ще трябва да направим, е да разделим двете страни на 1,5 литра, за да изразим крайното налягане. От тази страна напълно съкращаваме 1,5 литра, а от тази страна съкращаваме мерните единици литри и получаваме 0,872 по 1,25, делено на 1,5, като ще задържим единиците атмосфери тук. Това ни дава крайното налягане, което е 0,727 атмосфери. Като последна проверка – този резултат съответства на закона на Бойл, понеже увеличихме обема от 1,25 на 1,5 и намалихме налягането от 0,872 на 0,727.