Пример за потенциална енергия на пружина (грешка в математиката)

Здравей отново. И така, нека решим една задача за потенциалната енергия на стегната пружина. Нека направим интересна задачата. Да кажем, че имам една такава намотка. Намотка, направена от лед. Направих я така, за да няма триене. Нека изобразя моята намотка. Ето това е телта, а тук е извивката. Така. И да кажем тази извивка има радиус от 1 метър. Тоест ето това тук е 1 метър. И цялата извивка ще е с височина 2 метра. И да кажем, че тук имам една пружина – натисната пружина. Да кажем, това е стената. Това е пружината, тя е натисната, така че цялата е стегната така. И да кажем, че нейната "пружинна" константа, k, е примерно 10. Прилепнал към тази натисната пружина е един блок лед, понеже трябва да имаме лед върху лед, за да няма триене. Ето го моят леден блок, искрящ. И да кажем, че леденият блок е примерно 4 килограма. Знаем също, че се намираме на Земята, и това е важно, защото задачата можеше да изглежда различно, ако бяхме на някоя друга планета. И въпросът ми към теб е: "Колко силно трябва да притискаме пружината?" Да кажем, че естественото положение на пружината е ето такова, на пружината е такова, ето така, ако не се прилага натиск върху нея. А сега тя е тук. И какво е това разстояние? Какъв натиск трябва да приложа върху тази пружина, за да може когато я отпусна, блокът да се движи с достатъчна скорост и достатъчна енергия, така че да има способността да извърши това извиване, стигайки безпроблемно другия край? И така, как решаваме тази задача? Във всяка задача, включваща намотки от този вид, трудната част е достигането на високата точка от намотка. Трудната част е в това да сме сигурни, че скоростта е достатъчна в тази точка, за да се избегне падане. Скоростта ни трябва да компенсира земното ускорение, в който случай – и тук, ще бъде центростремително ускорение, нали така? Това е едно от нещата, за които трябва да помислим. И може би си казваш, леле, това е сложно, тук има някаква пружина, тя ще ускори блока. После той ще стигне тук, след което ще намалява и намалява скоростта. Той ще се намира тук, когато е на най-бавна скорост, и следва отново ускоряване тук. Много сложна задача. Във физиката всеки път, когато се появи много сложна задача, това е поради факта, че достигаме до нея по свръхсложен начин, а може да има и по-прост начин за това. И той е чрез използване на енергия – потенциална и кинетична енергия. И от наученото за потенциална и кинетична енергия, знаем, че общата енергия на системата не се променя, а просто преминава от една форма в друга. Тук има преминаване от потенциална енергия в кинетична енергия или в топлина. Приемаме, че няма топлина, заради липсата на триене. И нека решим тази задача. И така, искаме да знаем с каква сила трябва да натискам тази пружина? Това, което всъщност казвам, е с каква потенциална енергия трябва да започна в началото – при тази свита пружина – за да достигна тук горе? Каква е потенциалната енергия? Да кажем, че натискам пружината x метра. И от колко потенциална енергия ще имам тогава? Научихме, че потенциалната енергия на една натисната пружина – ще я нарека начална потенциална енергия – началната потенциална енергия, която бележим с i, е равна на 1/2kx^2. Знаем колко е k. Казах ти, че това е константата на пружината, която е равна на 10. И моята потенциална енергия ще е равна на 1/2 по 10, умножено по x на квдрат. А какви са всичките компоненти на енергията тук? Очевидно е, че в тази точка блокът ще трябва да се движи, за да не падне. Затова той ще има някаква скорост, v. Движи се като допирателна към намотката. И пак ще има някаква потенциална енергия. Откъде идва тази потенциална енергия? Ами, тя ще дойде, защото се намира на открито, във въздуха. Това е над повърхността на намотката. И ще има някаква гравитационна потенциална енергия, нали така? И в този момент ще е налице някаква кинетична енергия. Ще я наречем крайна кинетична енергия, може и тук долу да е крайната кинетична енергия, но аз ще дефинирам тази горе така. После прибавяме крайната потенциална енергия. И това, разбира се, трябва да се прибави към 10 по x на квадрат. И тази енергия се нарича потенциална енергия на пружината, а тази тук – гравитационна потенциална енергия. И колко е енергията в тази точка? А колко е кинетичната енергия? Крайната кинетична енергия ще е равна на 1/2 по масата, умножено по скоростта на квадрат, нали така? И сега, каква е потенциалната енергия в тази точка? Това е гравитационна потенциална енергия и затова е налице произведението на масата, земното ускорение и височината. Нали? Ще напиша това тук. Крайната потенциална енергия ще е равна на произведението на масата, земното ускорение и височината, което е като абревиатура на Масова Окръжна Болница (англ.-б.пр.). Жена ми е лекар и мозъкът ми е само... както и да е. Нека пресметнем кинетичната енергия в този момент. А скоростта каква трябва да бъде? Трябва да намерим центростремителното ускорение, след което, като имаме това, ще можем да намерм и скоростта. Понеже знаем, че центростремителното ускорение – ще променя малко цветовете за разнообразие – центростремителното ускорение трябва да е равно на частното от квадрата на скоростта и радиуса, нали? А какво е центростремителното ускорение в тази точка? Ами то е просто земното ускорение – 9,8 метра върху секунда на квадрат. И 9,8 метра върху секунда на квадрат е равно на v на квадрат върху r. А какъв е радисусът на тази намотка? Той е 1. Така v на квадрат вурху r ще е равно на v на квадрат. И v на квадрат е равно на 9,8 – можем да вземем квадратния корен или можем просто да заместим направо с 9,8 в това уравнение. И крайната кинетична енергия ще е равна на 1/2 по масата, умножено по 4, по v на квадрат, по 9,8. И това е равно – само нека използваме g вместо 9,8, защото си мисля, че така ще остане интересно. И, това е просто g, нали така? Имаме 2 пъти g. Крайната кинетична енергия е равна на 2g – и g е по принцип в метри за секунда на квадрат, но сега е във формата на енергия, нали? Затова ще бъде в джаули. Но е равно на 2g, нали? А каква е потенциалната енергия в този момент? Това е масата, която е 4, по g, умножено по височината, която е 2. Получаваме 8g. Така. И каква е общата енергия в тази точка? Кинетичната енергия е 2g, потенциалната енергия е 8g, следователно общата енергия в тази точка е 10g. 10g обща енергия. Общата енергия в тази точка е 10g, и не сме изгубили никаква енергия в триене и висока температура, или подобни. Затова общата енергия в тази точка също трябва да бъде равна на 10g. В тази точка няма кинетична енергия, защото този блок още не е започнал да се движи. Така цялата енергия излиза да е потенциална. И тук също имаме равенство с 10g. А това g, продължавам да припомням, е само 9,8. Исках само да направя това, за да видиш, че е налице кратност на 9,8, просто за да го забележиш. Та какво имаме тук? Тези числа се получиха добре. Нека разделим двете страни на 10. Получаваме x на квадрат е равно на g, което е 9,8. Така x ще е равно на корен квадратен от g, което ще е равно на какво? Да видим, ако имам 9,8 и взема корен квадратен от него, излиза 3,13. Така, x е 3,13. Така имахме задача, която изглеждаше трудна, но се оказа не толкова зле. Тъкмо казахме, че енергията в началото трябва да представлява енергията във всяка една точка тук, като приемаме, че нито една част от енергията не се губи като топлина. Разбрахме, че ако натиснем тази пружина с "пружинна" константа от 10... Ако я свием 3,13 метра, ще сме създали достатъчно потенциална енергия – и в този случай потенциалната енергия е 10 по 9,8, което е приблизително 98 джаула. 98 джаула потенциална енергия за пренасяне на този обект през целия път с достатъчно голяма скорост, до върха на намотката, след което да се върнем безпроблемно долу. И ако искахме да помислим, каква е кинетичната енергия в тази точка? Пресметнахме, че тя е 2, умножено по g, получаваме 19,6 джаула. Така. И тогава в тази точка, тя е 98 джаула. Пресметнах ли го правилно? Както и да е, времето ми свършва, така че се надявам, че наистина съм се справил в тази последна част. Ще се видим в следващото видео!