Функции, дефинирани чрез интеграли: разменен интервал

Графиката на функцията f е дадена по-долу. Нека g от х е равно на определен интеграл от 0 до х, f от t, dt. Когато видиш това за първи път, може би ще си помислиш колко е странно, че имаш функция, която е дефинирана с интеграл. Това е определен интеграл и едната от границите му е х. Просто следва да кажеш: "Добре, нормално е една функция да бъде дефинирана по този начин." И както ще видим, така всъщност е сравнително лесно да изчислим ето тази стойност. Тоест g от минус 2. g от минус 2. Ще запиша –2 с различен цвят. g от –2. Ще вземем този израз тук, този определен интеграл, и там, където има х, ще го заместим с –2. Следователно това ще бъде равно на интеграл от 0 до х... Ще запиша х след секунда, f от t, dt. х сега вече е минус 2. Това е минус 2. А как ще изчислим на какво е равен този израз? Преди дори и да погледнем графиката, може да забележиш, че това един участък, т.е. площта от участък, който се намира под графиката у равно на f от t, между минус 2 и 0. Трябва обаче да внимаваш, защото горната граница тук е всъщност по-малко число от долната граница ето тук. Би било хубаво да разменим тези граници, така че да може наистина да го разглеждаме като площта от участъка, която е под f от t и над оста t между тези две граници. Когато размениш границите, то това ще бъде равно на минус от определения интеграл, от минус 2 до 0, от f от t, dt. Това, което имаме тук, което ограждам с лилаво, е площта по кривата f, между минус 2 и 0. Между минус 2 и 0. Така че това е ето тази площ ето тук, която ни интересува. А на какво ще бъде равно това? Има много различни начини, по които може да се изчисли. Може да го разделиш на квадрат и триъгълник. Лицето на този квадрат е 4, т.е. 2 по 2. Увери се, че използваш правилно мерните единици, защото понякога едно квадратче е една квадратна единица. В този случай е така, така че това е 4. За горната площ ето това тук е половината от 4. Ако беше цялото това нещо, щеше да бъде 4. Този триъгълник е половината от 4, т.е. лицето му е 2. Може да го разглеждаш и като основа по височина, по 1/2, което ще бъде 2 по 2, по 1/2. Следователно тази площ е равна на 6. Тази част има площ 6, но не може да забравим знака минус. Тази площ ще бъде равна на минус 6. Следователно g(–2) е равно на – 6.