Отрицателни определени интеграли

Вече научихме какво е определен интеграл. Ако търсим определен интеграл от a до b, от f от x, dx, то мога просто да го разглеждаме като площта под функцията f. Нека това да е оста у, а това оста х. И у е равно на f от х, т.е. нещо такова. у е равно на f от х. Нека това да е a, а това да е b. Мога просто да разглеждам този израз като равен на тази площ. Какво обаче става, когато функцията не се намира над оста х? Какво се случва, ако е под оста х? Площите ще бъдат еквивалентни. Нека да изобразя един такъв случай. Нека начертая такъв случай. Това е оста х, а това оста у. Нека да имам функция, която изглежда като нещо такова. Това е у равно на g от х. Нека да кажем, че това тук е a, а това тук е b. И нека да кажем, че тази площ ето тук е равна на 5. Ако те попитам: на какво е равен определеният интеграл от a до b от g от х, dx, на какво мислиш, че ще бъде равен? Може би се изкушаваш да кажеш отново, че е просто площта между кривата у и оста х. Може би се изкушаваш да кажеш, че интегралът ще бъде равен на 5. Трябва обаче да внимаваш. Защото, ако гледаш площта над кривата и под оста х, вместо под кривата и над оста х, то този определен интеграл със сигурност ще бъде отрицателна площ. По-късно ще видим защо това е логично, заедно с още цял набор от свойства на интегрирането. Но ако искаш да добиеш усещане за него, нека да разгледаме графика от вида скорост-време. И така, нека това е хоризонталната ос, т.е. времето. Вертикалната ос е скоростта. И скоростта ще бъде измервана в метри в секунда. Времето ще бъде измервано в секунди. Времето е в мерни единици секунди. Всъщност ще представя два случая тук. Нека да кажем, че това е първата графика скорост-време. Нека да изберем v1 от t да е равно на 3. Ще бъде 3 метра в секунда, т.е. 1, 2, 3. Следователно ще изглежда ето така. Това е v1 от t. Ако разгледам определения интеграл, като тръгна от t = 1 до t = 5 от v1 от t, dt, то на какво ще бъде равен? Тук функцията се намира над оста t. Така че просто се придвижвам от 1 до 5, което ще бъде някъде тук. Може просто да помисля за площта тук, която е сравнително лесно да се изчисли. Ще бъде 3 метра в секунда, умножено по 4 секунди. Това е изменението във времето. Това ще бъде равно на 12 метра. Ще бъде равно на 12. Може да го разглеждаш като нещо, което представлява изменението в позицията. Ако скоростта е 3 метра в секунда, и поради това, че е положителна, можеш да го разглеждаш, че обектът се придвижва надясно с 3 метра в секунда. На какво е равно изменението в позицията? Ще съм се придвижил 12 метра надясно. И не се нуждаеш от математически анализ, за да го изчислиш. 3 метра в секунда, умножено по 4 секунди ще бъде равно на 12 метра. Какво ще стане обаче, ако беше обратното? Ако имам друга функция на скоростта, която ще означа с v2 от t, и която е равна на минус 2 метра в секунда. И е просто константа от минус 2 метра в секунда. Това ето тук е v2 от t. На какво е равен или на какво следва да е равен определеният интеграл от 1 до 5, от v2 от t, dt? На какво е равен? Следва да е равен на изменението в позицията на обекта. Ако скоростта обаче е отрицателна, то това означава, че се придвижвам наляво. Това означава, че изменението в позицията следва да бъде наляво, а не наобратно, т.е. надясно. Може просто да погледнем тази площ ето тук. Ако го разглеждаш просто като правоъгълник, то ще бъде равно на 2 по 4, което е равно на 8. Но трябва да бъдеш много внимателен. След като се намира под хоризонталната ос и над функцията, то резултатът ще бъде отрицателен. И това би трябвало да има смисъл. Ако се придвижвам с 2 метра в секунда наляво, в продължение на 4 секунди, или казано по друг начин, ако се движа с минус 2 метра в секунда за 4 секунди, то изменението в позицията ми ще бъде равно на минус 8 метра. Ще съм се придвижил 8 метра наляво, ако изберем означението "минус" да означава "наляво". Основният извод е, че ако се намираме под функцията и над хоризонталната ос, определеният интеграл - и ако а е по-малко от b - то определеният интеграл ще бъде положителен. Ако а е по-малко от b, но функцията в рамките на този интервал се намира под хоризонталната ос, то определеният интеграл ще бъде отрицателен. В следващи уроци ще разгледаме определени интеграли, при които има и двата случая, но това е малко по-сложно.