Интегриране на суми от функции

Имаме няколко функции тук. Това е графиката на у равно на f от х. Това е графиката на у равно на g от х. И вече знаем нещо. Знаем начини как да представим площта под кривата у е равно на f от х. Между тези две точки х равно на а и х равно на b. Тази площ ето тук, между кривата и оста х, между х равно на а и х равно на b. Знаем, че може да я представим като определен интеграл от a до b, f от х, dx. Същото нещо може да направим и ето тук. Може да означим ето тази площ. Нека да избера цвят, който не съм използвал. Това е малко по-различно зелено. Мога да представя тази площ ето тук. Площта точно под кривата у равно на g от х и над положителната част от х, между х равно на а и х равно на b. Това нещо представлява определен интеграл от a до b, от g от x, dx. Сега, след като имаме тези две неща, нека помислим върху площта под кривата на функцията, която е сбор на тези две функции. Какво имам предвид с това? Действително това е забавно нещо. Нека започна отначало. Това е точно това, което имаме тук. Това е графиката на у равно на f от х. Сега искам да апроксимирам графиката на у е равно на... или по-точно искам да изобразя функцията f(х) плюс g(х). За всяка стойност на х ще имаме f(х). Това е ето това f(х). След това ще прибавя g(х) към него. Как би изглеждало това? Нека да видим как ще изглежда. Когато х е равно на 0, g(х) изглежда се намира ето тук. Очевидно го апроксимирам. Следователно трябва да прибавя това разстояние тук. Вероятно ще се получи някъде ето тук. Когато х = а, разстоянието е малко по-голямо. Сега обаче кривата f(х) е нараснала. Но отмервам това същото разстояние над нея. Ако прибавя g(х) там, то ще стигна някъде ето там. Отново, просто го правя на око, т.е. опитвам се да апроксимирам резултата, за да си представя сумата f(х) + g(х). Просто се опитвам да прибавя g(х) за определени стойности на х. Да кажем, че сега се намирам някъде между a и b. g(х) представлява това разстояние ето тук. Ако поставя това същото разстояние ето тук, ще стигна горе-долу до тази точка тук. След това, когато х = b, тогава g(х) е някъде толкова голямо. Трябва да прибавя това разстояние, което горе-долу толкова. Това изглежда е твърде много. Може би нещо такова. Следователно, ако трябва да изобразя сбора им, то ще получа крива, която изглежда като нещо такова. И може би просто продължава да се движи все по-високо и по-високо. Това е кривата. Или поне е едно добро приближение на кривата f(х) + g(х). Сега следва интересен въпрос: Как бихме могли да представим ето тази площ? Площта под кривата f(х) + g(х) над положителната част от оста х, между х = а и х = b. Знаем, че има начин да представим тази площ. Нека да видим. Все още не съм използвал розово. Ето тази площ тук знаем, че може да бъде представена чрез определен интеграл от a до b, от f(х) + g(х), dx. Сега въпросът е как този интеграл е свързан с другите два, или как тази площ е свързана с тези други две площи? Важното нещо, което да разбереш, е, че площта, която имаме в жълто, ще бъде ето тази площ, която е тук. Това е сравнително ясно. Как обаче площта, която е в зелено, е свързана с тази площ там? И за да помислим върху това следва да си зададем въпроса какво представлява интегралът. Какво представлява един интеграл? Вече разсъждавахме върху тези наистина малки правоъгълници. Намираме граница от сумата от безкраен брой безкрайно тесни правоъгълници. Когато обаче разглеждаме Риманови суми, мислим върху изменението в х, и го умножаваме по височината. А тя от своя страна ще бъде стойността на функцията в тази точка. Ето тук може да имаме същото изменение в х. Може да имаме точно същото изменение в х. А на какво е равна височината ето тук? Това ще бъде точно ето тази височина ето тук. Видяхме го, когато построихме кривата. Това ще бъде равно на g(х) за тази стойност. Тогава дори правоъгълниците изглеждат сякаш са изместени малко в някаква посока, а те са изместени наистина от графиката на f(х). Височините им обаче, които чертая ето тук, са равни на абсолютно същото нещо като височините на правоъгълниците, които чертая ето тук. Просто са изместени малко нагоре и надолу от функцията f(х). Но това са абсолютно същите правоъгълници. И имат абсолютно същите височини. И границата, когато построяваш все повече от тях, като ги правиш все по-тесни и по-тесни, ще бъде същата като границата, която ще получиш, ако направиш тези все по-тесни и по-тесни. Тогава тази площ тук... очевидно не правя строго доказателство, а ти показвам каква е логиката – тази площ е абсолютно същото нещо като тази площ ето тук. Площта под тази крива, т.е. определеният интеграл от a до b от f(х) + g(х), dx просто ще бъде сумата от тези два определени интеграла. Може би ще възкликнеш: "О, това е очевидно!". А може би не е чак толкова очевидно. Кога обаче това може да ни бъде полезно? Когато по-натам всъщност се научиш да изчисляваш тези интеграли, ще видиш, че една от най-силните идеи, е умението да можеш да ги разложиш по този начин. Например ако търсиш определен интеграл от 0 до 1 от х на квадрат плюс синус от х, което досега може би ти е известно, а може би не е, може поне да започнеш да ги разделяш по този начин. Може да си кажеш, че това ще бъде същото нещо като определен интеграл от 0 до 1 от х на квадрат, dx, плюс интеграла от 0 до 1, от синус от x, dx. Виждаш, че това е едно от най-важните свойства на определените интеграли, когато започнеш да се опитваш да ги изчисляваш, или понякога да представиш идеята, която съдържат.