Импеданс

Сега ще разгледаме какво е импеданс. Това е много важно понятие в електрониката и е нещо, което възниква от проучването на АС анализа. В АС анализа се ограничаваме до входящи сигнали към нашите ел. вериги, които изглеждат като синусоиди, синуси и косинуси. От всички сигнали, които може да имаме в цялата Вселена, ще се ограничим за момента до синусовите вълни. Има някои големи опростявания, които възникват от това. В това видео ще разгледаме, ще развием i-v уравненията за нашите три любими пасивни компонента – резистор, индуктор и кондензатор. Ще разгледаме тези неща, когато входящият сигнал е синусоида. Това означава, че i или v, напрежението или токът, са във формата на синусоида. Ще видим какво означава това за i v уравненията за любимите ни устройства. Докато гледаме iv уравнения със синусови сигнали, ще разделим синусоидите на комплексни степенни показатели. Когато проучвахме синусоидите, открихме, че можем да разделим синусоидите на комплексни степенни показатели, като използваме уравнението на Ойлер. Например, ако имаме косинусова вълна, ако имаме косинус като функция на времето, омега t, можем да изразим това спрямо комплексни степени на е по следния начин: 1/2 по е на степен +j омега t плюс е на степен -j омега t. Ето така. Това, което ще направя сега, е да кажа: нека разгледаме какво се случва, когато използваме това като входящ сигнал. Това не е реален входящ сигнал, това е имагинерен, въртящ се вектор. Но ако имам два такива, мога да ги събера в косинусова вълна. Предпочитаме да използваме тези степени на е, понеже те преминават през различните уравнения на ел. веригата много лесно. Това са входящите сигнали, които знаем как да решим, когато се занимаваме с диференциални уравнения. Ще развия iv уравнения за резистор, индуктор и кондензатор спрямо този вид входящ сигнал, когато напрежението или токът изглежда така. Как ще изглеждат тези уравнения? Да започнем с резистора. Ето един резистор. Знаем от това – това е просто законът на Ом, той е v = i*R. За момент ще приема, че токът, да приемем, че i е равно на е на степен +j омега t. Ако това е i, какво е v за нашия резистор? Просто въвеждаме i тук и получаваме, че v е равно на R по е на степен +j омега t. Добре. Сега ще направя нещо, което изглежда сякаш е твърде просто, но скоро ще стане интересно. Искам да разгледам отношението на напрежението към тока. В тази ситуация, където задвижваме това с този комплексен степенен показател. Оказа се, че напрежението е R по е на степен +j омега t и това е напрежението, като поставя ток през резистора, който е равен на е на степен +j омега t. На какво е равно това? Тези двете са еднакви, така че се съкращават и получавам, че отношението на напрежението към тока за резистора е R. За нашия резистор точно доказахме, че v/i е равно на R. Това не е ново, не направихме откритие, това е просто законът на Ом. За един резистор напрежението върху тока винаги е равно на съпротивлението. Добре. Това ще стане по-интересно, когато преминем към индуктори и кондензатори. Нека се заемем с индуктора. Той има стойност от L хенри. За индуктор знаем, че напрежението е равно на L di dt. Добре, да направим същото нещо. Нека i = e на степен +j омега t. Това е ток с комплексен степенен показател, който пропускаме през индуктора. Нека видим колко е v. v е равно на L по d dt от тази стойност тук, е на степен +j омега t. Или v е равно, сега намираме производната, и членът j омега слиза долу – умножаваме го по L, така че получаваме j омега L по какво? По същото нещо, по е на степен +j омега t. Това е красивото нещо при е на степен – производната е самото то. Нека сега направим това. Да вземем, отново, какво е отношението на напрежението към тока? Това е равно на – ето го напрежението, j омега L по е на степен +j омега t. Да разделим това на i, което е i ето тук, i = е на степен +j омега t. Тези се съкращават. И получаваме, че v/i = j омега L. Сега имаме уравнение за v/i за индуктор. Това е интересно. Този път имаме стойността за индуктивността, което очаквахме, и също има този член j омега t, който идва тук. Това ни казва – омега е честотата. Това ни казва, че отношението v/i за индуктор зависи от честотата. Сега ще направим същото нещо за кондензатор. Ето един кондензатор. Ето я неговата стойност на капацитета във фаради. За кондензатора знаем, че i е равно на С по dv dt. Този път нека v(t)... нека v е равно на е на степен +j омега t. Този път ще подадем напрежение между краищата на кондензатора, това е този имагинерен, този комплексен степенен показател. Това ни дава – нека въведем това тук – i е равно на С по d dt от е на степен +j омега t. Нека сега намерим производната. i е равно – случва се същото нещо – j омега слиза долу като коефициент пред С и получаваме същото нещо тук. Получаваме j омега С по е на степен +j омега t. Сега ще зададем същия въпрос отново, който зададохме преди, който е какво е v/i за кондензатор. Можем да запълним това, v стои ето тук, v е равно на е на степен j омега t, е на степен +j омега t, а токът е – разработихме това тук долу – това е j омега С по е на степен +j омега t. Отново получаваме това хубаво съкращаване, това се съкращава с това и за кондензатора получаваме v/i е равно на едно върху j омега С. Ограждам и това. Това ни казва, че отношението на напрежението към тока в един кондензатор зависи от стойността на кондензатора, разбира се, също зависи и от честотата. Точно както тук с индуктора имаме член за честотата. Сега ще дадем на това отношение на напрежението към тока във всички тези три случая специално име и това име е импеданс. Символът, който често използваме за импеданс, е Z. Понятието импеданс е общата идея за отношението между напрежението и тока. Можем да направим това за всички три пасивни компонента. За един резистор импедансът е съпротивлението R. Терминът импеданс е като терминът съпротивление, освен че е по-обща концепция. Това е общата концепция за напрежението, делено на тока. За един резистор импедансът е съпротивлението. За един индуктор импедансът v/i е j омега L. Тук долу за кондензатора импедансът е едно върху j омега С, капацитета. Оттук идва идеята за импеданс. Идеята включва и стойностите на компонентите, и ефектът, който честотата има върху отношението на напрежението към тока. Тези две неща са комбинирани в една идея. Нека набързо обобщим какво е импеданс. Ако кажем импеданс на резистор, това е равно на R. Импедансът на индуктор е равен на j омега L. Импедансът на кондензатор е равен на едно върху j омега С. И като припомняне на предположенията, които направихме, казахме, че ще разглеждаме само синусоидални входящи сигнали. Разделихме синусоидата, косинусовата вълна, на тези... разгледахме как тези въртящи се вектори преминаха през нашите компоненти под формата на напрежения и токове. Няма нова физика тук. Просто взехме тези j омега, които излязоха от степенните показатели, когато намерихме производните, свързахме ги със самия компонент, направихме това тук и тук, и можеш да го видиш тук. Направихме един трик, свързан с обозначението. Свързваме тази зависимост на честотата не с входящите сигнали, напреженията и токовете, а със самите компоненти. Това е нещо, което се нарича трансформиране. Трансформирахме компонентите си. Това е фразата, която се използва тук. Но от това идва идеята за импеданс и общата представа за отношението на напрежението към тока.