Синус и косинус от въртящ се вектор

Бих искал да демонстрирам един начин да създадем синусова вълна. Ще създадем нещо, което изглежда като синуса на омега t. Тук имаме функцията си на времето. И имаме честотата. Тази малка анимация ще ни покае начин да построим синусова вълна. Тази зелена права е въртящ се вектор. И нека просто да кажем, че радиусът на тази окръжност е едно. Имаме вектор, който бавно се върти. И пунктираната права тук и тази жълта точка, който се движи нагоре и надолу, това е проекцията. Това е проекцията на върха на зелената стрелка върху оста у. И, докато векторът се върти, можеш да видиш, че проекцията на оста у се премества нагоре, надолу, нагоре и надолу. Това всъщност се движи нагоре и надолу по модела на синусовата вълна. Сега ще премина към нова анимация и ще видим как изглежда тази точка, докато преминава нагоре и надолу във времето. Това е диаграмата. Така изглежда една синусова вълна. Както ще забележиш, когато зелената права премине през нула, ето тук, да изчакаме докато отново дойде тук, стойността на жълтата права, когато премине през нула, е нула. Тази жълта права тук е диаграма на синуса на омега t. Ако погледнем една проекция, тази проекция беше върху оста у и мога да направя същата анимация, но този път да проектирам това върху оста х. И това ще създаде косинусова вълна. Да видим как изглежда това. В този случай, когато обърнахме това, можеш да видиш, че проекцията, зелената права, е върху оста х и това създава косинусова вълна. Това ще е косинус от омега t. Понеже проследяваме прогреса върху оста х, косинусовата вълна изглежда сякаш преминава надолу по страницата. Оста на времето е тук долу. Когато зелената стрелка стигне до нула, ето тук, стойността на косинуса беше 1, а когато е минус 180 градуса, това е минус 1 за косинуса. Затова това е косинусова вълна. И тя има същата честота като синусовата вълна, която генерирахме. И сега искам да ти покажа тези двете заедно, понеже е приятно да ги видиш. Ще оставя анимацията за момент. Виждаме генерираната синусова вълна в жълто, а в оранжево е генерираната косинусова вълна и двете произлизат от този въртящ се зелен вектор. Това е много проста демонстрация на начин да генерираме синуси и косинуси с тази идея за въртящия се вектор. Ще можем да генерираме този въртящ се вектор като използваме някои идеи от комплексна аритметика и формулата на Ойлер. Смятам, че това е много красив модел и произлиза от толкова проста идея като въртящ се вектор.