Премахване на параметъра в параметрични уравнения

. В последното видео използвахме набор от параметрични уравнения, за да опишем позицията на кола, тъй като тя падна от една скала и уравненията бяха x като функция на t - ще напиша това - x като функция на t беше равно на 10, мисля. Направих това преди няколко часа, така че мисля, че това беше, което казах. 10 плюс 5t. И y като функция на t беше равно на 50 минус 5t на квадрат. И графиката изглеждаше нещо като това. Ще я нарисувам отново. Никога не боли. Това беше оста y. Това е оста x. Видяхме, че при t равно на 0 и бихме могли да проверим колко е t равно на 0 тук и ще получим точка 10, 50. Точка 10, 50 беше точно там. Това беше при t равно на 0 и след това изобразихме няколко точки в последното видео. Мисля, че t равно на 1 беше там. t равно на 2 беше някъде там и t равно на 3 изглеждаше нещо такова и това беше пътят на действителната кола, докато тя не се блъсна в земята. Но това параметрично уравнение действително не само описва тази част от кривата. То описва една крива, която отива в двете посоки завинаги. Така че, то описва крива, която прави нещо подобно. Ако вие всъщност поставите t равно на минус 1, какво ще получите тук? Получавате минус 5. 10 минус 5 е 5. Ако поставите минус 1 тук, това става плюс 1. Минус 1, получавате 5, 45. Така че, получавате тази точка там. И ако направите минус 2, ще получите точка, която изглежда по подобен начин. При минус 3, ще получите точка, която е нещо такова. Така че, цялата крива, описана от това параметрично уравнение ще изглежда по този начин. Нека да я направя в различен цвят. Изглежда нещо като това. И посоката, в която x се увеличава - съжалявам, в която t се увеличава, изглежда като това, нали? Това е t равно на минус 3, минус 2, минус 1, 0, 1, 2 и така нататък и така нататък. Така че, в последния пример, нашият път беше всъщност само част от пътя, описан от това параметрично уравнение. Казвам всичко това, защото понякога е полезно просто да ограничите параметричното си уравнение и да кажете, че това е пътят само за определени стойности на t. И в нашия пример това беше, когато тръгнахме от тази точка, която е при t равно на 0, чак докато не ударихме земята. Така че, ако искаме да знаем кои са тези граници - добре, знаем първата границата е t равно на 0, така че, това в последния пример, когато действително говорихме за кола, накланяща се от скала, тя беше между 0, t по-голямо от или равно на нула. И след това трябва да разберем каква стойност на t ни кара да ударим земята? Или кога y беше равно на 0? Защото, когато y е равно на 0 - y е нашата височина, така че когато y е равно на 0, ние ударяме земята. Ако кажем каква стойност на t прави y равно на 0? Ние току що казахме, че 0 е равно на 50 минус 5t на квадрат. Нека да направим това. 0 е равно на 50 минус 5t на квадрат. Просто вземам това и приемам,че y е равно на 0, защото това е когато ще се ударим в пода. Добавете 5t на квадрат от двете страни. Получавате 5t на квадрат е равно на 50. Разделете двете страни на 5. t на квадрат е равно на 10. t е равно на квадратния корен от 3. Всъщност можете да кажете плюс или минус корен квадратен от 3, защото това е - ударяме земната повърхност в t равно на корен квадратен от - о, съжалявам. t е равно на корен квадратен от 10. t е равно на корен квадратен от 10. Мозъкът ми го направи 3, защото веднага си казах - о, квадратен корен от 10, това е някъде 3 цяло и нещо. Така че, това е t равно на корен квадратен от 10, което е приблизително равно на 3 цяло и - не знам. Не знам колко е. Може би трябва да включа калкулатора си, но това не е важно сега. И ако ние действително вземем положителните и отрицателните квадратни корени, това ще бъде t равно на минус корен квадратен от 10. Тук отвън има отрицателен знак и ако можехте да отиде назад във времето, ще получите един вид, ударът в земята там. Но не забравяйте, че в нашия пример, не се върнахме назад във времето. Ако отидем назад във времето при t минус 1, действително бяхме на едно плато, тогава щеше да има различен набор от параметрични уравнения, които щяха да описват колата, когато просто си караше по платото. Така че, ако наистина искаме да опишем пътя на колата, ние трябва да го ограничим и да кажем, че между време равно на 0 и време по-малко от корен квадратен от 10, това би било нашето параметрично уравнение. Достатъчно ясно. Сега, следващото нещо, което е интересно е - знаете, че взехме тези параметрични уравнения и ги обобщихме и току-що казахме, как щеше да изглежда, ако не ги бяхме ограничили. Ако случаят не беше този, тогава параметричното уравнение щеше просто да продължава по този начин и щеше да има такава посока, нали? Щеше да се движи в тази посока. Но можем ли да изразим набор от параметрични уравнения, просто като нормално уравнение, където y е изразено като функция на x, или x се изразява като функция на y? Нека опитаме. Най-лесното нещо, което можем да направим просто да ги напишем отново, Ще изчистим нашата дъската. И така, ако имате x е равно на 10 плюс 5t и y е равно на 50 минус 5t на квадрат, ако искаме да напишем тази система само с едно уравнение, само с y и x, това което можем да направим е, че може просто да намерим t по отношение на x или y и след това да заменим обратно в другото уравнение. По-лесно за решаване е това горното уравнение, защото е линейно уравнение. Това е малко по-сложно. Ще трябва, знаете, t е равно на корен квадратен от y, и става много по-сложно, така че нека просто използваме това. Ако искаме да намерим t, нека извадим 10 от двете страни. Получавате x минус 10 е равно на 5t. Разделете двете страни на 5. Получавате x върху 5 минус 2, нали? 10 разделено на 5 е равно на t. И сега, можем да вземем това и да го заменим. Това е t, нали? Можем да вземем това и да го заменим обратно тук за t, защото казваме, че това е равно на t. Така че, нашето уравнение става y е равно на 50 минус 5, умножено по x върху 5 минус 2 на квадрат. Сега нека да го опростим. Това е равно на - нека да сменим цветовете. 50 минус 5 по x на квадрат върху 25 минус - да видим, 2/5, така че е 4/5 x плюс 4. И след това ако умножите - това тук е y. Така че, получавате y е равно на 50. И нека видим, минус 5 по - минус 5 върху 25 е минус 1/5, така че минус x на квадрат върху 5. Минус 5 по минус 4/5, това е плюс 4 x. И след това минус 5 по 4 е минус 20. Почти сме готови. Можем да прибавим 50 към минус 20 и получаваме y - това е твърде тъмно - y е равно на минус x на квадрат върху 5 плюс 4 x плюс 30. И сме готови. Предполагам, че бихме могли да кажем, че опростихме този набор от параметрични уравнения до това едно уравнение, където y е функция на x. Може би ще кажете: Сал, защо не можем просто винаги да го правим по този начин? Това е много по-просто и можем просто да го начертаем и знаете как да се справите с него, и това е само едно уравнение само с y и x. Нямаме тази трета променлива t. И това може би е ОК, ако искате да знаете само формата на пътя. Така че, ако вземехте това уравнение и ви кажех да му начертаете графиката, вие наистина ще получите парабола, един вид отворена надолу парабола, която изглежда нещо подобно. Но когато отидете от тези две уравнения към това едно уравнение, губите информация. Ако ви бях казал, че това описва пътя на обект, някакъв обект, не е задължително да е кола. Стигнали сме много по-далече от това. Това описва пътя на някакъв предмет. Само с това уравнение, не знаете дали обекта е - дали обекта отива в тази посока? Дали се движи така? Или обекта отива в другата посока както нашата кола. Дали обекта отива в тази посока? Не знаем, защото не знаем как се движи според времето. По същия начин, ако ви кажех, че това е пътя на обекта и след това ви попитах, къде е обекта след 5 секунди, вие нямаше да знаете. Защото това просто ви показва каква е формата - където х е по отношение на y или където y е по отношение на x. Не ви показва, къде сте след 5 секунди, така че сме загубили цялата тази информация. Загубихме информацията, че това е t равно на 0, това е t равно на 1, това е t равно на 2, това е t равно на 3, това е t равно на корен квадратен от 10. И ето защо параметричните уравнения са полезни. Но все пак, исках да направя този пример основно, за да ви покажа, че можете да изразите същата фигура по този начин и да ви покажа също, как да изразявате параметрично уравнение от гледна точка на y и x, но също така и, за да оцените, че параметричното уравнение е полезно и съдържа информация, която това единично уравнение не би съдържало. Както и да е, ще се видим в следващото видео.