Премахване на параметъра в параметрични уравнения (пример 2)

. Нека да видим, дали можем да премахнем параметъра t от малко по-интересен пример. Нека кажем, че x е равно на 3 пъти косинуса от t. А y е равно на 2 пъти синуса от t. Можем да се опитаме да премахнем параметъра по същия начин, по който го направихме в предишното видео, където можехме да намерим t от гледна точка на x или y и след това да го заместим обратно. И аз ще направя това. Но искам да го направя на първо място, за да ви покажа, че това един вид води до сложен или неинтуитивен отговор. Така че, ако търсим - нека да намерим t тук. Можем да го направим също и с първото - те са еднакво сложни. Така че, ако търсим t тук, би трябвало да разделим и двете страни на 2. Ще получите y върху 2 е равно на синуса от t. И след това ще вземете аркуссинуса от двете страни или обратния синус от двете страни и вие получите - обичам да пиша аркуссинус, защото хората често бъркат обратния синус с степенния показател, като го отнасят към степен минус 1. Аркуссинуса от y върху 2 е равен на t. Всъщност нека направя това малко в страни. Може би трябваше да го направя в серията от тригонометрията, но това е добър начин да го разберете. Защото мисля, че хората се объркват. Аркуссинусът от нещо, да речем y. Друг начин да напишете това е синус минус 1 от y. Тези две неща са обикновено еквивалентни, когато се използват. Но в повечето случаи, аз не обичам да използвам това означение, защото то може да бъде двусмислено. То може да означава синус от y на степен минус 1, което е равно на 1 върху синус от y. И аркуссинуса, а това определено не е едно и също нещо. Вие искате да бъдете много внимателни тук, за да сте сигурни, че няма да се объркате, когато някой напише обратен синус като този. Но всъщност хорате не повдигат синус от y на степен минус 1. От друга страна, ако някой трябва да напише синус на квадрат от y, това несъмнено е същото нещо като синус от y на квадрат. В действителност, бих искал това да беше по-стандартното означение, защото нямаше да кара хората да мислят - о, 2 и минус 1 там и разбира се, това е просто синус от y на квадрат. Така че, това може да бъде много неясно. И разбира се, ако това беше отрицателно, това би било минус 2 и след това наистина ще бъде 1 върху синус от y на квадрат. Ето защо обяснявам по дълъг и скучен начин, защо пиша аркуссинуса вместо обратния синус там. Разбира се, нека се върнем към проблема. След като намерихме t от гледна точка на y, сега можем да го заменим тук. И получаваме един израз за x по отношение на y. Получаваме x е равно на 3 пъти косинуса от t. Но ние току-що намерихме t. t е това нещо тук. Косинусът от аркуссинуса от y върху 2. И ние премахнахме параметъра, но това е много неинтуитивно уравнение. Бихме могли да го направим по друг начин. Можехме да намерим y по отношение на х и щяхме да сме намерили синуса от аркускосинуса. Това би било също толкова сложно или наинтуитивно. Но така или иначе, ние премахнахме параметрите, така че предполагам можем леко да се потупаме по гърба. Но това не е целта на видеото. Целта на това видео е да видим дали има някакъв начин да премахнем параметъра, което води до много по-интуитивно уравнение с участието на x и y. И това, което ще направим, предполагам че можете да го наречете малък трик, но това е нещо, което ни показва много. Особено когато имате работа с полярни координати. Може да искате да гледате видеоклиповете за полярна координата, защото там, по същество става дума за това. Но ако бях казал - нека ги напишем отново. х е равно на 3 пъти косинус от t и y е равно на 2 пъти синус от t. Така че това, което можем да направим е просто до помислим, как можем да напишем това? Знаете, че косинус от t и синус от t - как можем да ги свържем? И първото нещо, което ми идва на ум е единчината окръжност или в известна степен най-основното от всички тригонометрични тъждества. И това е, че косинуса на квадрат от t плюс синуса на квадрат от t е равно на 1. Това идва от единичната окръжност. Обясних го във видеото за единичната окръжност и това е, защото уравнението за единичната окръжност е x на квадрат плюс y на квадрат е равно на 1. Косинусът на ъгъла е координатата x, синусът от ъгъла е y координатата и така нататък и така нататък. Но това е нашето тригонометрично тъждество. Не трябва да мислите за него твърде много точно сега. Просто за да знаете, че това е вярно и гледайте някои от другите клипове, ако искате да докажете, че е вярно. Но ако по някакъв начин можем да заменим този косинус на квадрат с някои израз с x и заменим синус или синус на квадрат с някои израз с y, ще сме готови, нали? И тогава ще имаме това равенство 1. И това не би било твърде трудно. Можем да напишем това отново. Можем да сложим косинус от t равно на нещо с x и можем да настроим синус от t равно на нещо с y. Така че, нека направим това. Разделяме двете страни на уравнението с 3. Получавате x върху 3 е равно на косинус от t. И ако разделите двете страни на това уравнение на 2, получавате y върху 2 е равно на синуса от t. И тогава можем да използваме това тригонометрично тъждество. Вместо косинуса от t, можем да заместим с х върху 3. Вместо синуса от t , можем да заменим с y върху 2. И ще получите x върху 3 на квадрат - това там е толкова, това е просто косинус от t на квадрат - плюс y върху 2 на квадрат - това е просто синус от t на квадрат - е равно на 1. И сега това започва да изглежда много по-добре от това. Това, нямам никаква представа какво е. Но се надявам, ако сте гледали видеоклиповете за коничното сечение, може вече да сте разпознали, че това започва да прилича на елипса. Можем да го опростим малко. Бихме могли да кажем, че това е равно на x на квадрат върху 9 плюс y на квадрат върху 4 е равно на 1. И ако трябваше да начертаем тази елипса - всъщност ще я начертаем - получаваме - нека нарисувам моите оси. Използвам този син цвят прекалено много, Става монотонно. Добре, нека използвм лилаво. Това е нашата абсцисна ос. Това е нашата ос у. Това е нашата ос у. Главната ос е в направление x, защото знаменателя тук е по-голям от този. И това е главният радиус - това ще бъде корен квадратен от това и е 3. 1, 2, 3 в тази посока. 1, 2, 3. Знам, че центъра ми е в 0, защото нито една от тези не са изместени. Трябва да гледате клиповете за коничното сечение, ако това ви звучи непознато. И второстепенният радиус е корен квадратен от 4, така че е 2. Получава се 1, 2. И 1, 2. Да видим дали ще мога да нарисувам тази елипса. Тя изглежда по подобен начин. Ето. Ето така, чрез премахване на параметъра t, ние получихме това уравнение във форма, която веднага успяхме да познаем като елипса. Когато просто гледам това, освен ако не сте имали много работа с параметрични уравнения или може би с полярни координати, не е очевидно, че това е параметрично уравнение за елипса. Но това, след като сте учили за конични сечения, е доста ясно. Това е елипса. И е лесно тази елипса да бъде нарисувана. Но при премахване на t и тръгвайки от тези уравнения тук и отивайки от това към това, както в последното видео, ние загубихме информация. Ние загубихме, от една страна посоката, в която се движим когато t се увеличава? И също не знаем, в коя точка от тази елипса сме във всяко дадено време t. За да изчислим това, нека направим нашата малка таблица, нека направим нашата малка таблица. Нека вземем някои стойности на t. Нека вземем някои стойности на t. Ще направим малка таблица t, x и y. Добре е да изберете стойности за t. Запомнете - нека напиша отново уравненията, за да не ги загубим - x беше равно на 3 косинус от t, а y е равно на 2 синус от t. Добре е да се вземат стойности за t, при които е лесно да намерим колко е косинуса и синуса без помощта на калкулатор. Приемаме, че t е в радиани само за улеснение. Нека изберем t равно на 0. t е равно на Пи върху 2. Това е 90 градуса в градуси. И t е равно на Пи. Колко е x, когато t е равно на 0? Косинус от 0 е 1 по 3, това е 3. Колко е x, когато t е Пи върху 2? Косинусът от Пи върху 2 е 0. 0 умножено по 3 е 0. И на колко е равно x, когато t е равно на Пи? Косинусът от Пи е минус 1. Минус 1 по 3 е минус 3. Правилно. Сега нека направим y. Когато t е 0, колко е y? Синус от 0 е 0. 2 по 0 е 0. Когато t е Пи върху 2, синус от Пи върху 2 е 1. 1 по 2 е 2. И когато t е Пи, синус от Пи - това е синусът от 180 градуса - е 0. 2 по 0 е 0. Нека да начертаем тези точки. Когато времето е 0 сме в точка 3, 0. И така 3, 0 - 3, 0 е точно там. Това е t равно на 0. Когато t нарастне с Пи върху 2 или ако това беше в секунди, Пи върху 2 секунди е около 1.7 и нещо секунди. Така че, при t равно на Пи върху 2, сме в точка 0, 2. Ние сме точно тук. Това е при t равно на Пи върху 2. И след това, когато t се увеличи малко повече - когато сме при t равно на Пи - ще бъдем в точка минус 3, 0. Ние сме тук. Това е t равно на Пи или знаете, че можем да го напишем 3.14159 секунди. 3.14 секунди. Всъщност, знаете ли, искам да уточня, не e задължително t да бъде време и не е необходимо да го отбелязваме със секунди. Но искам да мислите за това по този начин. Искам да мислите за това, сякаш това описва някакъв обект около орбитата или не знам, нещо друго. Така че, сега знаем посоката. Докато t нарастваше от 0 до Пи върху 2 и после до Пи, ние отидохме в тази посока. Отидохме обратно на часовниковата стрелка. Така че, посоката на параметричното уравнение на t е тази. И може би ще кажете: Сал, защо трябваше да направим 3 точки? Бихме могли да направим само 2 и да направим линия. Ако имахме само тази и тази точка, можехте веднага да кажете: о, отидохме от там до там. Но това наистина не би било достатъчно. Защото, може би можехме да стигнем от тук до там, заобикаляйки по другия път. Даването на тази трета точка ни позволява да разберем, че посоката определено е обратно на часовниковата стрелка. И така, какво се случва, ако просто вземем t от 0 до безкрайност? Какво става, ако ограничим t? t е по-голямо от 0 и по-малко от безкрайността. Ние просто ще продължаваме да обикаляме тази елипса завинаги. Много пъти. Ще продължим да пишем отново и отново, безкрайно много пъти. Ако отидем от минус безкрайност до безкрайност, тогава бихме го правили винаги, предполагам това е начинът да го кажа. Или ако просто искахме да проследим това веднъж, можем да тръгнем от t по-малко или равно на - или t е по-голямо или равно на 0. Целият път на t е по-малко или равно на 2 Пи. И в тази ситуация, t наистина е ъгъл, който проследяваме. Ако трябваше да мислим за това в полярни координати, това е t във всяко дадено време. Просто си помислих, да поставя това някъде там. Не е винаги така, но в този случай наистина е. Когато отидете от 0 до 2 Пи радиуса, вие сте направили 1 обиколка. Но това е за параметричните уравнения, а не тригонометрия. Така че, не искам да акцентирам твърде много на това. Но все пак, това е ясно. Когато започнахме с това, ако просто ви бях показал тези параметрични уравнения, нямаше да имате представа как изглежда това. Но чрез разпознаване на тригонометричното тъждество, бяхме в състояние да го опростим до една елипса, да начертаем елипса. И след това, чрез поставянето на няколко точки, бяхме в състояние да разберем посоката в която - ако това описваше частица в движение - посоката, в която тази частица действително се движеше. Както и да е, надявам се това да ви е харесало.