Параметрични уравнения с една и съща графика

. В последното видео започнахме с тези параметрични уравнения: x е равно на 3 пъти косинус от t и y е равно на 2 пъти синус от t. И използвайки малко алгебра, бяхме в състояние да премахнем параметъра и да го преврърнем в уравнение, което обикновено свързваме с елипса. Имаме x на квадрат върху 9 плюс y на квадрат върху 4 е равно на 1. И го начертахме. Ще го направя отново. Всъщност аз го имам от предишния път - ние го начертахме и имахме нещо, което изглеждаше като това там. И казахме: добре, защо винаги не го представяме по този начин? Това тук - това уравнение само по отношение на x и y - то представлява само формата. Не отразява реално пътя - да речем, че t представлява дадена точка от обект - позицията на обекта в някакво място и време. И ние го направихме. И когато времето нарастваше, обикаляхме около елипсата, в този случай. Ако времето продължи да нараства, ние ще продължим да обикаляме около тази елипса. Но това повдига въпроса: това ли е единствения набор от параметрични уравнения, при които като използваме малко алгебра, ни дава този път? Можем ли да помислим за друг начин, който ни позволява - както когато използваме алгебрата - да стигнем до тук? Мисля, че можем. Нека опитаме няколко. Искам да кажа, че бихме могли да направим много от тях. Всъщност, може би ще направим множество от тях, само за да видим, че там - и това, което ще видите е, че всъщност има безкраен брой параметрични уравнения, които ни дават този път. Едното може да бъде x е равно на 3 пъти косинус от 2t. А другото е y е равно на 2 пъти синус от 2t. Както направихме в последнто видео, нека да намерим косинус от 2t и синус от 2t. Просто трябва да разделим двете страни на - двете страни на горното уравнение на 3. Получавате x върху 3 е равно на косинуса от 2t. Разделяте двете страни на това уравнение на 2. Получавате y върху 2 е равно на синуса от 2t. И ще използваме същото тригонометрично тъждество, както го направихме преди. Когато направихме тази задача, казахме, че синус на квадрат от t плюс косинус на квадрат от t е равно на 1. Ако това е вярно. Нека да видя. Ако това е вярно, тогава можем също да кажем, че синус на квадрат от 2t плюс косинус на квадрат от 2t е равно на 1. В действителност, синус на квадрат от каквото и да е тук плюс косинус на квадрат от което и да е, тъй като това е същото нещо, което поставихме тук - не мога да имам 2t тук и 3t тук, но ако това е 2 и това е 2 - тогава това винаги ще бъде равно на 1. Можете просто да попълните бланката. Тъй като, това винаги ще бъде един и същ ъгъл. Ако това е вярно, можем след това просто да вземем това и да го заменим в косинус от 2t и да вземем y върху 2 и да го заместим в синус от 2t. И получаваме синус от 2t на квадрат става y върху 2 на квадрат плюс косинус от 2t е х върху 3 на квадрат. Това е равно на 1. И това е точно, с което трябваше да започнем. Това е същото нещо като x на квадрат върху 9 - просто разменям реда тук - плюс y на квадрат върху 4 е равно на 1. Така че, и двете от тези параметрични уравнения, и двата набора от параметрични уравнения имат точно еднакъв път. По какво те се различават? Нека да видим. Ако бяхме взели - както в предишното видео, взехме това жълтото. Всъщност аз го написах отново тук. Направили сме малка таблица и сме изобразили точки, които ви карат да се движите по окръжността. Нека направим същото нещо за нашия нов набор от уравнения. Тъй като ги загубих, ще напиша двете уравнения тук. Бяха x е равно на 3 пъти косинус от 2t и y е равно на 2 синус от 2t. Ще направя малка таблица. Ще направя малка таблица. Готово. Ще имаме t. Ще имаме x и y. Нека да изберем същите стойности за t. 0, Пи върху 2 и Пи. Когато t е 0, косинус от 2 по 0. Това е косинус от 0, което е едно, умножено по 3 е 3. Когато t е равно на Пи върху 2, 2 по Пи върху 2 е Пи. Косинус от Пи върху 2 е минус 1. Минус 1, умножено по 3 е минус 3. Когато t е равно на Пи, косинус от 2 пъти Пи е 2Пи. Косинусът от 2Пи е същото нещо като косинус от 0. Така че, това е 1. 1 по 3 е 3. И след това от страната на y. Когато t е равно на 0, това е същото като синус от 2 по 0. Синус от 0 по 2 е 0. Пи върху 2. Синус от 2, умножено по Пи върху 2. Това е същото нещо като синус от Пи. Това също е 0. 0 по 2 е 0. И след това Пи. Синус от 2Пи. Е, това също е 0. Така че, тук получихме цял куп нули. Какво се е случило тук? Нека го направя в различен цвят. В първия случай - и в двата - установихме, че и двата - този набор от параметрични уравнения и този - те и двата имат една и съща като цяло, предполагам, че бихме могли да кажем, форма на техния път. Те и двата са тази елипса. Но това, което видяхме в предишните клипове, когато поставите тези точки за време t равно на 0, бяхме от дясно. Тази точка тук е тази точно там. И след това при t равно на Пи върху 2, отиваме точно там. И след това при t равно на Пи, отиваме тук отгоре. Направихме това, за да установим посоката на движение. Ако тези параметрични уравнения наистина описват някакъв вид движение, то би било обратно на часовниковата стрелка. И какво се случва при този сценарий - когато t е равно на 0, ние сме все още в точка 3, 0. При t равно на 0, вие един вид можете да ги видите, че започват от една и съща точка, ако приемем, че стартираме от t равно на 0. Не е задължително да започнете от t равно на 0. Направих малко от това в последното видео, но можете да започнете при t равно на минус google или t равно на минус безкрайност. Не трябва непременно да имате начална точка. Но ако приемем, че t е равно на 0 като стартова точка, може да се каже че те и двете започват от там. След това в - нека избера нов цвят, който не съм използвал все още - тогава при t равно на Пи върху 2 - къде ще сме? Ще сме в минус 3, 0. Получаваме целият път. Това е същия цвят, който използвах преди. Ще видя този. Нека да го направя с този цвят. Ние сме тук. Сега забележете: в първото уравнение, когато отидохме от t равно на 0 до t равно на Пи върху 2, отидохме от тук до там. Минахме един вид една четвърт от пътя около елипсата. Но сега когато тръгнем от t равно на 0 до Пи върху 2, къде отидохме? Ние минахме половината път около елипсата. Минахме целия път от там чак до тук. Минахме целия път от там чак до тук. И по същия начин, когато тръгнем от t равно на Пи върху 2 до t равно на Пи с този набор от параметрични уравнения, минахме друга четвърт от елипсата. Отидохме от там до там. Но тук, когато отидем от t равно на Пи върху 2 до t равно на Пи, ние изминаваме целия този път. Връщаме се към началната част на нашата елипса. Това, което виждате е, че този набор от параметрични уравнения има точно същата форма на пътя, както този набор от параметрични уравнения. С изключение на това, че се движи два пъти по-бързо в този случай. Всеки път, когато t нараства до Пи върху 2 тук, ние отиваме до - един вид минаваме една четвърт около елипсата. Но когато t нараства с Пи върху 2 тук, минаваме половината път около елипсата. Така че, нещото което трябва да разберем - знам, че съм засягал този въпрос преди - е, че все пак и двата от тези набори от параметрични уравнения, когато използвте алгебрата, те могат един вид да бъдат превърнати в тази форма. Губите информацията за това, къде е нашата частица, докато тя се върти около елипсата или колко бързо се върти около елипсата. И ето защо имате нужда от тези параметрични уравнения. Можем дори да направим параметрично уравнение, което отива в другата посока. Вместо тези - и аз ви препоръчвам да си поиграете с това - но ако вместо това просто поставите знак минус тук. Косинусът от минус t и 2 пъти синус от минус t. Вместо да върви в тази посока, ще отиде в тази посока. Тя ще върви по посока на часовниковата стрелка. Така че едно нещо, за което вероятно си мислите от началото е: ОК, бях в състояние да премина от моите параметрични уравнения до това уравнение на елипса, по отношение само на x и y. Можете ли да го направите по обратния начин? Можете ли да преминете от това към това? И мисля, че сега може би осъзнавате, че отговорът е не. Защото няма никакъв начин, само с информацията, която ви е дадена тук да знаете, че трябва да отидете до това параметрично уравнение или това параметрично уравнение или някое от безкрайния брой параметрични уравнения. Искам да кажа, че всяко едно нещо от x равно на 3 пъти косинус, наистина всичко, умножено по t и y равно на 3 пъти косинус от - докато това е същото нещо - нарисувах двата завъртяни знака еднакви - стига тези две неща да са едни и същи, тогава ще имате, че и двете клонят към тази форма. Така че, ако имате формата, не знаете към какво параметрично уравнение можете да се върнете. Бихте могли да направите едно, но няма да знаете по кое ще се върнете. И само за да обобщим един вид, защо се правят параметрични уравнения. Понякога това се изисква от вас. Нека да направим един много прост пример. Да започнем с нормална функция от x. Нека да кажем, че имаме уравнение y е равно на x на квадрат плюс x. Току що го измислих. И да речем, че са ви помолили да превърне това в параметрично уравнение. Често това е много трудно за хората, защото няма нито един правилен отговор. Можете да включите произволен брой параметрични уравнения. Може би просто ще направя нещо наистина лудо и произволно. Мога да кажа x е равно - когато имам y, определено изключително по отношение на x като това, мога да изразя х във всичко по отношение на t. Мога да кажа, това е косинусът от t минус натуралния логаритъм от t. Току що измислих това. Това е просто нещо произволно. Но след това, ако x е това, тогава y ще бъде равно на - просто замествам това отново - косинус от t минус ln от t на квадрат плюс косинус от t минус ln от t. И сме готови. Просто превърнахме това в параметрично уравнение или набор от параметрични уравнения. Можех просто да напиша х е равно на t. И след това, на колко ще бъде равно y? y ще бъде равно на t на квадрат плюс t. Можете да кажете и каква е разликата между това параметрично уравнение и това параметрично уравнение? Ами те и двете ще имат една и съща форма на техните пътища. Тя ще бъде нещо като парабола. Но скоростта и посоката, с която те нарастват по тези пътища ще бъдат много, много различни. Това всъщност е много интересно нещо, като помислиш. Има пътища, които можете да вземете - нека да кажа че - можете да създадете параметрично уравнение. Да речем, че формата е - знаете че при всичко, което сме правили досега, винаги сме вървели в една посока, но бихте могли да имате - има различни сценарии - и може би ако имам време, ще направя едно видео. И това не е което - Нека кажем, че формата на пътя е някакъв вид, не знам, да речем, това е един кръг от някакъв вид. Просто ще - не е това. Правя напълно различен пример сега. Просто един вид - понякога с елипсите имахме пътища, при които вървяхме обратно на часовниковата стрелка и след това такива, които бяха по часовниковата стрелка. Можете също да имате пътища, които са един вид изолирани между тях, движат се наоколо, движат се назад и напред по нещо. Така че, има всякакви видове параметрични уравнения, които можете да формулирате. И можете да кажете, че ако t е равно от това до това, ще използвате този набор от параметрични уравнения. Ако стойностите на t са други, ще използвате друг вид. Има всякакви видове луди неща, които можете да направите, за да кажете какво се случва, докато се движите по пътя. Така че, разликата - не че това е пътят на това. Това е всъщност повече парабола. Но разликата между това и това е как се движите по фигурата. Както и да е, надявам се, че сте намерили това малко полезно. .