Трансформация на Лаплас от функцията cos t и от функции от многочлени

В предишния урок показахме, че трансформацията на Лаплас от производната на f(t) е равна на s по трансформацията на Лаплас от самата функция f минус f(0). Сега ще приложим свойството, което доказахме. Ще го използваме, за да добавим нови редове в нашата таблица с трансформации на Лаплас, която ще е полезно да запомниш рано или късно, ако често ще използваш трансформации на Лаплас. Вече знаем, че трансформацията на Лаплас от синус от a по t е равна на... използвахме интегриране по части, за да покажем, че тя е равна на а върху s на квадрат плюс а квадрат. Нека използваме тези две вече известни неща, за да намерим трансформацията на Лаплас от косинус от а по t. И така, търсим трансформацията на Лаплас от косинус at. Ако приемем, че трансформацията на Лаплас от косинус at е производна на някаква функция, то коя ли е тази функция? Хайде да я потърсим. Ще запиша това отстрани. Ако f прим от t е равно на косинус от at, то колко е предполагаемата функция f(t)? Тя е примитивната функция. Можем временно да игнорираме константата, защото по принцип имаме n по f(t). И така, коя е примитивната функция на косинус от t? Тя е 1/а по синус от at. Нали така? Ако това е производната на f, (подчертава с червено) тогава тук имаме s по трансформацията на Лаплас от нейната примитивна функция, която е 1/а по синус от at, минус примитивната функция за t = 0: минус 1/а по синус от... а по 0, което е 0, а синус от 0 е 0. Значи целият този член изчезва. Това е равно на... Това е константа, нали така? Това е 1/а. Вече доказахме, че трансформацията на Лаплас е линейна трансформация (линеен оператор). Затова можем да изнесем константата пред скоби. Това става равно на s/a по трансформацията на Лаплас от синус от at. Това е равно на s/a по a върху s на квадрат плюс а на квадрат. Тук а се съкращава. Този метод се оказа много по-лесен от интегрирането по части, което използвахме за трансформацията при синус. И така, получаваме, че трансформацията на Лаплас от косинус at е равна на s върху s квадрат плюс а квадрат. И така само за три минути намерихме още един ред от нашата таблица с трансформации на Лаплас. Вече имаме в нея двете най-важни тригонометрични функции. Да продължим. Не сме се спирали особено на многочленни функции. Знаем няколко неща. Знаем, че трансформацията на Лаплас... Вече получихме това. Знаем, че трансформацията на Лаплас от 1 е равна на 1/s. Ще добавим и факта, че трансформацията на Лаплас от f прим е равна на s по трансформацията на Лаплас от f минус f(0). За да е още по-ясно, нека изменим условието. Ако f е известна функция, как да намерим някои трансформации на Лаплас, като използваме f прим и f от 0? Нека преработим това равенство. Имаме трансформацията на Лаплас от f прим – можех да запиша и аргумента t, но ще стане досадно – плюс f от 0 е равно на s по трансформацията на Лаплас от f. Разделяме двете страни на s. Получава се трансформацията на Лаплас, също така ще разменя страните, значи трансформацията на Лаплас – получи ми се странно L – трансформацията на Лаплас от функцията f е равна на 1/s, това идва от разделянето на двете страни на s, по сбора от трансформацията на Лаплас от нашата производна и самата функция, изчислена при аргумент 0. А сега, като използваме тези две неща, да потърсим още някои полезни трансформации на Лаплас. Колко е трансформацията на Лаплас от f от t равно на t? Просто да използваме това свойство. Тя е равна на 1/s по трансформацията на Лаплас от производната... Колко е производната на t? Производната на t e 1. Значи имаме трансформацията на Лаплас от 1 минус f от 0. Когато t е равно на 0, последното става 0. Минус 0. Значи трансформацията на Лаплас от t е равна на 1/s по трансформацията на Лаплас от 1. А тя е просто 1/s. И така, получаваме 1/s на квадрат, минус 0 отпада. Интересно. Имахме, че трансформацията на Лаплас от 1 е 1/s, а трансформацията от t е равна на 1/s на квадрат. Нека сега да намерим трансформацията на Лаплас от t на квадрат. Ще използвам зелено. Може би ще видим интересен модел. Трансформацията на Лаплас от t на квадрат. Използваме, че това е равно на 1/s по трансформацията на Лаплас от производната. Колко е тази производна? Тя е 2 по t. По трансформацията на Лаплас от 2 по t, плюс функцията за аргумент 0. 0 на квадрат става 0. И така, това е равно на... можем да изнесем тази константа пред скоби. Това е равно на 2/s по трансформацията на Лаплас от t. А на колко е равна тя? Преди малко я намерихме. 1/s на квадрат. Значи това прави 2/s по 1/s на квадрат. Това е 2/s на трета степен. Изумително. Ще те попитам... Само да запиша t на трета. Мисля, че съвсем скоро вече ще видиш модела. Ще се появи такъв, да продължим още малко. Трансформацията на Лаплас от t на трета. Това даже е забавно. Препоръчвам ти да опиташ, удовлетворяващо е. Много повече от интегрирането по части. И така, трансформацията на Лаплас от t на трета е 1/s по трансформацията на Лаплас от производната му, което е 3 по t на втора степен. Можем да изнесем константата, тъй като това е линейна трансформация. Става 3/s по трансформацията на Лаплас от t на квадрат. На колко е равно това? Намерили сме, че трансформацията на Лаплас от t на квадрат е равно на 2/s на трета. Значи това е 3 по 2 върху колко? Върху s на четвърта степен. Можеш тук да поставиш t на n-та степен и чрез индукция да намериш обобщената формула. Но дори тук изглежда, че се забелязва моделът. Каквото е числото в степенния показател, получаваме s на степен по-голяма с 1 в знаменателя на трансформацията на Лаплас. А в числителя е факториелът на степенния показател. И така, ето още един ред в таблицата с трансформации на Лаплас. Трансформацията на Лаплас от t на степен n е равна на n факториел върху s на степен n+1. Тук има скоби. Те не са необходими, само да няма объркване. При всички положения, когато го видиш в таблица с трансформации на Лаплас, това изглежда заплашително. С всички тези n-ове и n факториали. Но това само показва модела, който доказахме преди малко. При t на трета степен знаменателят се увеличи с една степен и стана s на четвърта, а в числителя умножихме по 3, което стана 3 факториел, което е 6, нали така? И това е всичко. Да обобщим: чрез свойството на производната при трансформацията на Лаплас намерихме трансформацията на Лаплас от функцията косинус от at и трансформацията на Лаплас от на практика всеки многочлен. Нали така? Защото това е линейна трансформация. И така, известно е от t на n-та степен, тоест на произволна степен И можем да го умножим по константа. Вече знаем трансформациите на основните тригонометрични функции. Знаем и на показателната функция. Знаем също и трансформацията на Лаплас от многочлени. Ще се видим в следващото видео.