Приложения на трансформация на Лаплас

Мисля, че е добър момент да научим още няколко техники за транформации на Лаплас и техния запис. Най-напред искам да въведа един бърз начин на работа. И така, ако имам трансформация на Лаплас... да кажем, че искам да намеря трансформацията на Лаплас от втората производна на у. Преди няколко урока доказахме, че трансформацията на Лаплас от първата производна на у е равно на s по трансформацията на Лаплас от у, минус у от 0. Използвахме това свойство при последните няколко урока, за да намерим трансформацията на Лаплас от втората производна. И ако допуснем, че това е у прим, а това е неговата примитивна функция, можем да приложим модела. Така излиза, че трансформацията на Лаплас от у секонд е равна на s по трансформацията на Лаплас от у прим, минус у прим от 0. Просто използваме, че едното е производна на другото. Ще отделя това с линия. И така, трансформацията на Лаплас от втората производна на у е това. Можем да използваме зависимостта, която доказахме преди няколко урока, за да я заместим обратно и да я получим изразена чрез трансформация на Лаплас от у. Можем да развием тази част. Трансформацията на Лаплас от производната на у е равна на s по трансформацията на Лаплас от у, минус у от 0. И за това ще приложим същото, нали? Умножаваме по s и вадим у прим от 0. Като разкрием всички скоби, правили сме го и преди, получаваме s на квадрат по трансформацията на Лаплас от у, минус s по у от 0, минус производната на у от 0. Забележи нещо интересно тук. Като научиш това, ще решаваш подобни задачи много бързо. Няма да се наложи да правиш всичко това и да рискуваш да направиш някоя грешка, ще спестиш време и място, особено, ако си на изпит. И така, забележи при трансформацията на Лаплас от втората производна: какво получихме? Имаме s на квадрат, нали така? А производната беше втора. Значи имам s на втора степен по трансформацията на Лаплас от у, минус s по у(0), минус 1 по у прим от 0. Започваме с s на квадрат и след това за всеки член намаляваме степента на s с едно, а след първия член всичко е с минус отпред. В началото имаме трансформация на Лаплас от у, като можеш да си я представиш като нещо подобно на интеграл, после би трябвало да имаме производни, така че имаме у. Накрая отново имаме производна, имаме у прим. И не забравяме, че тези членове са с минус. И това не са истински функции. Това са стойностите на тези функции, изчислени за аргумент 0. Това е добър начин да си припомниш как се решава това. Веднъж като го усвоиш, ще можеш много бързо да намираш преобразувания на Лаплас от произволни функции или от произволни производни на функции. Например, ако търсим трансформация на Лаплас от... да речем, четвъртата производна на функцията у. Тази четворка в скобите означава четвърта производна. (У нас производните от по-висок ред се бележат с римски цифри.) Можеше да запиша и четири апострофа, но става и така. Как да изчислим това? Ако използваме начина за получаване на у прим и и заместваме, има опасност да допуснем неволни грешки, а и би отнело цяла вечност и много хартия за сметки. Но вече имаме горния модел и можем да го използваме: да изразим тази трансформация на Лаплас, чрез трансформация на Лаплас на самата функция у. Това ще е s на четвърта степен по трансформацията на Лаплас от у и след това всеки член ще е с минус, минус, намаляваме степента на s, минус s на трета след което имаме един вид производна, ще имаме у от 0, което не е фактически производна. Трансформацията на Лаплас няма да е примитивната функция на у от 0, но мисля, че това помага за запомнянето. След това отново понижаваме степента на s, става s на квадрат. И производна на функцията от предишния член: само условно ги наричаме функции. Това е стойността на производната на тази функция за аргумент 0. И така, имаме по у прим от 0, минус... още веднъж понижаваме степента, минус s по – сега ще е втората производна на у, изчислена за 0. Остава още един член. Още веднъж понижаваме степента на s. Получава се s на нулева степен, което е 1. Става минус 1 – това е коефициентът, умножен по третата производна на у, ще скролна за малко място, третата производна, изчислена за 0. Вече обобщението трябва да ти стана ясно. Това е много по-бърз начин за изчисляване на трансформация на Лаплас от произволна производна на у, отколкото прилагането на предишния метод няколко пъти. Следващата хитрина, която ще ти покажа, е само опростяване на записа. Възможно е да го виждаш и така, затова е добре да свикнеш и с него. Всъщност спестява доста време, вместо да пишеш това ръкописно L и тези къдрави скоби. Ако ни е дадена трансформацията на Лаплас от функцията y(t), можем да я запишем по-кратко като функцията Y, обикновено се използва главна буква, което вече е функция от s. В това има логика, тъй като, обикновено, при изчисляване на примитивната функция или когато учим фундаменталната теорема на висшата математика, срещаме интеграла от f(x) спрямо dx, изчислен за интервала от 0 до х като функцията главно F(x). Тук заемаме този запис, защото тази функция от s представлява един вид интеграл на y(t). Трансформацията на Лаплас до известна степен е като особен вид интеграл, в който има показателна функция, която усложнява нещата. И така, целта ми беше да свикнеш и с този запис. Когато видиш такава функция главно Y от s, това е същото като трансформация на Лаплас от y(t). Можеш да го срещнеш и по друг начин: трансформацията на Лаплас от f(t) равно на главно F от s. Ще разбереш, че това не е обикновена примитивна функция по това, че s е използвано като независима променлива. Тъй като в общия случай s се използва за дефиниционната област на честотите и ако то бъде иползвано за обикновена примитивна функция, това може да доведе до объркване и т.н. Я да видим, остава ли ми време да ти покажа още няколко впечатляващи идеи за трансформацията на Лаплас. Разбира се. И така, ще ти покажа още няколко свойства, полезни при работа с трансформация на Лаплас. Въпросът ми е: колко е трансформацията на Лаплас от числото е на степен at по функцията f(t)? Опитай се да решиш това. Нека да се върнем към определението на трансформация на Лаплас. Тя е интегралът от 0 до безкрайност от е на степен минус st, умножено по израза в къдравите скоби. Тук в къдравите скоби е 'е' на степен at, по ft, после има dt. Сега можем да съберем степенните показателли. Те имат една и съща основа. Какво получаваме? Това е интегралът от 0 до безкрайност – мога да запиша просто минус s плюс а... но ще го оставя като минус, и в скоби s минус a, умножено по t. Можеш и да разкриеш със скобите, за да стане минус s плюс a, точно каквото имаме тук. После имаме f(t) и dt. Сега искам да ти покажа нещо. Ако искаме трансформацията на Лаплас само от f(t), тя ще е равна на някаква функция от s. Каквато и стойност да имаме за s, ще получим някаква функция от нея. Това е интересно. Тук имаме някаква функция от s. За да стане по-ясно, ще запиша това отново. Трансформацията на Лаплас, която е интегралът от 0 до безкрайност от 'е' на степен минус st, по f(t), dt. Трансформацията на Лаплас само на f(t) е равно на това, което е някаква функция от s. Значи трансформацията на Лаплас от е на степен at, по f(t) е равна на това. Каква е разликата между тези две неща? Не е много голяма. Тук на мястото на s имаме s минус a. И ако едното е функция от s, то какво е другото? То ще е същата тази функция. Колкото и да е трансформацията на Лаплас от функцията f, това ще е същата тази функция, но вместо аргумент s, тя ще има аргумент (s – a). Нека повторим, как получихме това? Казахме, че трансформацията на Лаплас от f е функция от s и е равна на това. Ако просто заменя s с (s – a), ще получа това, което е функция от (s – a). Също така то е трансформацията на Лаплас от 'е' на степен at, по f(t). Това може да е малко объркващо. Ще ти покажа един пример. Да вземем трансформацията на Лаплас от косинус 2t. Най-напред ще го запиша. Вече видяхме, че това е равно на някаква функция от s. А тази функция от s е s върху s квадрат плюс 4. Вече сме показали и това. Значи трансформацията на Лаплас от 'е' на степен... например, 3t, по косинус от 2t ще е равна на същата функция, но на мястото на s ще присъства (s – a). Значи ще е функция от s минус 3, която е (s – 3), делено на (s – 3) на квадрат, плюс 4. Забележи, че когато умножаваш по такъв израз, като в степента има това 3t може да бъде всяко at, получаваш същото като трансформацията на Лаплас от тази функция, но навсякъде трябва да заместиш s с s минус това а, коефициента от степента. Надявам се последната част да не те обърка и да съм успял да ти обясня принципите в този урок. Ще се видим в следващия.