Трансформация на Лаплас от t^n: L{t^n}

В предишния урок показахме, че трансформацията на Лаплас от t, което представлява първата степен на t, е равна на 1/s на квадрат, при условие, че s е по-голямо от 0. В този урок ще опитаме да обобщим, като намерим трансформацията на Лаплас от t на n-та степен, където степенният показател n е произволно цяло положително число, т.е. n е произволно цяло число, по-голямо от 0. Да опитаме. От определението за трансформация на Лаплас знаем, че трансформацията на t на n-та степен е равна на интеграла от 0 до безкрайност от нашата функция t^n, по 'e' на степен –st, dt. Това е определението. Аналогично на начина, по който намерихме тази трансформация, (подчертава трансформацията за t) близо до ума е да се използва интегриране по части, както показах в предишния урок. Винаги забравям неговото определение, но съвсем скоро го използвах и сега го помня. Интегрирането по части гласи, че интегралът от u по v прим е равен на uv минус интеграла от u прим по v. Вижда се как функциите си "разменят местата". Това е формулата за интегриране по части. Ако я забравиш, можеш да я изведеш за по-малко от минута, като използваш правилото за диференциране на произведение. В предишния урок направих точно това, защото не съм го използвал отдавна и не го помнех. И така, хайде сега да приложим формулата. Кой израз да сложим за стойност на v прим? Винаги е удобно това да е експоненциалната функция, защото лесно се намира нейната примитивна функция. Това ще бъде v прим в нашия случай, като v ще е равно на неговата примитивна функция. Тя е числото 'е' на степен -st, върху минус s. Ако изчислим производната на това се получава минус s върху минус s, които се съкращават и остава само степента. Остава да определим и стойността на u: ще използвам друг цвят. Другият множител остава да е равен на u. Тогава колко ще е u прим? Производната на u става n по t на степен (n – 1). Дотук добре. Време е да приложим интегрирането по части. Тогава това е равно на uv... където u е t на n-та степен, както определихме току-що, по... за v получихме, че е равно на този израз: тук има знак минус, ще сложим минуса отпред... ще използвам същия цвят... минус... просто преписвам израза за v: 'е' на степен минус st, върху s. Това беше произведението u по v. Обозначавам го така. Ще избера подходящ цвят. Това значи, че този израз е равен на този. Да не забравяме, че трябва да изчислим стойността му от 0 до безкрайност. Можеше да използвам някакви скоби, но и така ни е ясно, че ще трябва да го изчислим. От всичкото това остана да извадя интеграла. Да не забравя границите му: от 0 до безкрайност, от u прим, което е n по t на степен (n – 1), умножено по v: по минус... ще изнеса минуса отпред, значи минус числото 'е' на степен минус st, върху s. И накрая, разбира се, имаме dt. Двата минуса отпред правят плюс. Да опитаме да опростим. Получихме, че трансформацията на Лаплас от t на n-та степен е равна на този израз, изчислен от безкрайност до 0... колко е границата му, когато t клони към безкрайност? При t, клонящо към безкрайност, този член в жълто става много голям. Подобно на ситуацията в предишния урок. Но следващият множител надделява над него, защото става 'е' на степен минус безкрайност, когато s е по-голямо от 0. Значи при s>0 този член надделява и се приближава до 0 много по-бързо, отколкото другият нараства до безкрайност. Тогава стойността при безкрайност на оградения израз ще клони към 0. После вадим същия израз, изчислен за 0. При t = 0 се получава минус 0 на степен n по 'е' на степен минус s по 0, делено на s. Това също е 0. Значи стойността на целия този член, пресметнат за t от 0 до безкрайност, е 0, което е много удобно за нас. Следва този интеграл. Да изнесем константите отпред. Те са това n и това s. И двете са константи по отношение на t. Получаваме плюс n/s по интеграла от 0 до безкрайност от t на степен (n – 1), по 'e' на степен -st, dt. Ако това ти изглежда познато, имаш право. Какво беше определението за трансформация на Лаплас? Трансформацията на Лаплас от дадена функция е интегралът от 0 до безкрайност от тази функция по 'e' на степен -st, dt. Тук (виж подчертания израз) имаме 'е' на степен -st под интеграла от 0 до безкрайност, целият този интеграл е равен на една трансформация на Лаплас: тя е от тази функция, t на степен (n – 1). Ето колко лесно опростихме нещата, защото този член се сведе до 0. Получихме, че трансформацията на Лаплас от t на степен n е равна на n/s, този коефициент, по този интеграл, който току-що установихме, че е равен на трансформацията на Лаплас от t на степен (n – 1). Получи се добро опростяване. Вече можем да изразим трансформация на Лаплас на дадена степен чрез тази на по-ниската степен, но това още не е обобщена формула. Можем ли да използваме тази информация, за да получим обобщена формула? Имахме трансформацията на Лаплас само от t, записах я в началото на задачата, нека я препиша. Можем да го запишем като трансформация на Лаплас от t на 1-ва степен, равна на 1/s на квадрат, където s > 0. Какво ще се получи за трансформация на Лаплас от t на квадрат? Можем просто да приложим горната формула. Трансформацията на Лаплас от t на квадрат е равна на 2/s по трансформацията от t, което е t на 1-ва степен, нали така? Степента е 2 минус 1. Значи умножавам по трансформацията на Лаплас от t на 1-ва степен. Тя ни е известна. Получава се 2/s по това, по 1/s на квадрат, което прави 2 върху s на трета. Интересно. Да продължим нататък. В тъмносиньо ще изчисля трансформацията на Лаплас от t на трета степен. Пак ще използваме горната формула. Имаме n/s. В този случай n е равно на 3. Значи това е 3/s, по трансформацията от t на степен (n – 1), значи от t на квадрат. Току-що видяхме тази трансформация. Ето това тук. (подчертава го) Значи имаме 3/s по този израз. Ще го запиша по този начин, защото става интересно. Записвам числителя. По 2 по 1 върху s на квадрат, отгоре се получи 3 факториел върху какво? върху s на четвърта степен. Да направим още един пример. Мисля, че вече забелязваш идеята. Трансформацията на Лаплас от t на четвърта степен е колко? Тя е равна на 4/s по трансформацията на Лаплас от t на трета степен. Трябва просто да умножа това по 4/s. Става 4/s по 3 факториел върху s на четвърта степен. Като умножим 4 по 3! получаваме 4 факториел, а знаменателят става s на пета степен. Вече можем да изведем общия принцип. И можем да го докажем чрез математическа индукция. Като използваме намереното досега, това е почти елементарно. Трансформацията на Лаплас от t на степен n е равна на n факториел върху s на степен (n + 1). Изведохме го директно от този основен случай тук. Той е 1 факториел върху s на степен 1+1. Показахме, че щом принципът е верен за този случай, то той е верен и за следващата стойност на n. Доказателството по индукция е почти очевидно, вижда се от тук. Ако трябва да намериш трансформацията на Лаплас от t на десета степен, можеш да приложиш това още няколко пъти, но самият принцип се вижда ясно. При всички положения, тази задача беше добра и сама по себе си, освен, че е полезна за намиране на обратни трансформации и трансформации на Лаплас. Резултатът е добър. Гласи, че трансформацията на Лаплас от t на n-та степен, където n е цяло положително число, е равна на n факториел върху s на степен (n + 1), където s също е по-голямо от 0. Трябваше да поставим това условие още в началото, когато пресмятахме границите при t, клонящо към безкрайност. Надявам се урокът да ти беше полезен.