Принципът на Кавалиери в три измерения

Дадени са ни два цилиндъра. Нека е дадено, че те имат равни обеми, което е логично, защото изглежда, че те имат еднаква площ на основата и равна височина. Сега ще започна да разрязвам левия цилиндър и да размествам частите. Ако го разделя на две части и взема долния цилиндър, тази долна половина, и ако я преместя малко, това променя ли обема? Очевидно това не променя обема. Отново имаме същия обем. Общият обем на двата "полуцилиндъра" отляво е равен на обема на първоначалния цилиндър. А ако го разрежа отново? Сега ще го разделя на три части. И този път това не променя първоначалния обем. Обемът на тези три части е равен на първоначалния обем, като просто сме го разделили на три части. Ако разместя тези части, не променям обема. Мога да продължа да правя това. Мога да направя още части. Обърни внимание, че техният обем е равен на първоначалния обем, просто го разделяме на повече части. Разрязваме цилиндъра хоризонтално и сега просто размествам получените части, но това не променя общия обем. Мога да го направя много пъти. Изглеждат като жетони за покер или за казино, които получихме от нашия първоначален цилиндър, който разрязахме хоризонтално и се получиха тези "жетони", ако мога да ги нарека така, но очевидно общият обем не се промени. Мога да ги размествам, но обемът се запазва. Това води до един интересен въпрос, което всъщност е познато като принцип на Кавалиери. Той гласи, че ако имаме две тела с еднаква височина, и че ако в произволна точка от тази височина напречните сечения имат равна площ, тогава двете фигури имат равен обем. Как е свързано това с това, което направихме тук? Тези две тела имат равна височина, а във всяка произволна точка, в която направихме сечение, в същата точка на началния цилиндър площта на напречното сечение е същата, защото има същата площ като основата, в случая на този цилиндър, което съответства на принципа на Кавалиери. Принципът на Кавалиери не е нещо екзотично. Той е напълно логичен. Мога да направя още сечения като тези, и можем да кажем, че виждаме един още по-наклонен цилиндър, но той отново има същия обем като първоначалния цилиндър. Когато ги разместя ето така, това не променя обема. Това не се отнася само за цилнидри. Можем да приложим същата логика за някаква призма. Отново двете призми имат равен обем. Мога да разместя, мога да разрежа лявата наполовина, и да разместя частите, но това не променя обема. Мога да направя още разрези и да разместя частите, но това отново не променя обема. Принципът на Кавалиери изглежда много логичен. Ако имаме две тела, които имат една и съща височина, и ако в произволна точка от тяхната височина напречните сечения имат равна площ, то тогава тези тела имат еднакъв обем. Тези две тела също имат равен обем. Можем да го приложим към интересни тела, например пирамида. Тези две пирамиди имат равен обем, и ако срежа лявата пирамида наполовина, ако преместя долната половина ето така, това не променя обема. Мога да продължа така и да направя още много разрези. И понеже във всяка точка тук – тези две тела имат равни височини, и във всяка точка от тази височина площите на напречните сечения са равни, значи те имат равен обем. Пак повтарям, че това е съвсем логично. Това се отнася за всички случаи, което можем да отнесем и за една безкрайна пирамида ето тук, която е наклонена. Няма значение колко много я наклоняваме, тя ще има все същия обем като началната пирамида, защото те имат равни височини и площта на напречните сечения в произволна точка от тази височина ще бъде една и съща. Можем да приложим този принцип към произволно тяло. Например тези сфери имат равни обеми. Мога да срежа лявата сфера наполовина, по средата на височината и след това я размествам ето така. Очевидно е, че това не променя обема. Мога да направя още сечения. Очевидно е, че отново имаме същия обем. Това отговаря на принципа на Кавалиери, защото имат еднаква височина и напречните сечения във всяка точка от тази височина ще бъдат еднакви. Въпреки че разрязвам едната сфера и я размествам, тя вече изглежда като различно тяло, нещо съвсем различно, но двете имат равни височини и сеченията им във всяка точка от височината имат равни площи, следователно те имат равни обеми. Това е полезно да се знае, не само да се знае самият принцип, но се надявам, че с това видео разбра и логиката защо това е така.