Разбиране на формулата за обем на конус

На екрана виждаш две различни тримерни тела. Отляво имаме пирамида, а отдясно имаме конус. Знаем някои неща за тези тела. Първо знаем, че те имат равни височини. Значи дължината на тази височина тук е h, и дължината на тази височина ето тук, от върха до центъра на основата, също е h. Знаем също така, че лицата на основите им са равни. Например за пирамидата отляво, лицето на основата е х по – да допуснем, че основата е квадрат, така че лицето на основата е х по х. Значи това лице тук е равно на х на квадрат. Тогава лицето на основата – ето тук лицето на тази основа е равно на х на квадрат. Лицето на основата на конуса ще бъде равно на пи по r на квадрат. И е дадено, че тези две лица са равни. Следователно знаем, че х на квадрат е равно на пи по r на квадрат. Въпросът ми към теб е дали тези две тела имат равни обеми, или имат различни обеми? Ако обемите им са различни, кое тяло има по-голям обем? Постави видеото на пауза и помисли върху този въпрос. Сега да отговорим заедно. Знаем, че това са две тела, които имат равни височини, и лицата на техните основи също са равни, тогава може би си мислиш, че принципът на Кавалиери може да ни е от полза. Само да припомня какво представлява той – принципът на Кавалиери гласи, че ако имаме две тела, имаме предвид тримерни тела, разглеждаме тримерната версия на принципа на Кавалиери – ако имаме две тела, които имат равни височини, и ако в произволна точка на височината напречните сечения имат равна площ, тогава телата имат равни обеми. Следователно трябва да разберем дали е вярно, че във всяка точка от тази височина напречните сечения на тези тела имат равна площ. Да помислим върху това – да изберем произволна точка от тази височина. И само за простота, хайде да изберем средата на височината, въпреки че можем да разгледаме всяка произволна точка от височината. Избираме средата на тази височина. Средата на тази височина ето тук. Това разстояние ето тук е равно на h върху 2. Това разстояние ето тук е равно на h върху 2. Цялата височина е h. Сега можем да построим триъгълници, които изглеждат подобни, и можем да докажем, че това са еднакви триъгълници. Ще ги построя ето тук. (чертае с бяло) Знаем, че тези триъгълници са подобни, защото тази права тук е успоредна на тази права, а тази права тук е успоредна на ето тази права, на този радиус. Откъде знаем това? Ние правим напречни сечения, а това означава, че те са успоредни на основата, успоредни са на равнината, в която лежат основите в този случай. И в двата случая тези напречни сечения са успоредни. Значи тези прави, които лежат в тези напречни сечения, или лежат върху основата и лежат на напречното сечение, също трябва да са успоредни. Тъй като това са успоредни прави, този ъгъл е равен на този ъгъл. Този ъгъл е равен на този ъгъл, защото това са две успоредни прави, пресечени с трета, а това са съответни ъгли. Освен това двата триъгълника имат общ ъгъл ето тук. Тук се вижда много добре, че има прав ъгъл, и тук има прав ъгъл. Този ъгъл е равен на този ъгъл, а този е общ за двата триъгълника. Така този по-малкият триъгълник и в двата случая е подобен на по-големия триъгълник. Благодарение на това можем да намерим отношението между съответните страни, което ще бъде едно и също. Ако тази страна е h върху 2, а цялата височина е h, значи това е половината от цялата височина, това означава, че тази страна е половината от r. Значи това ето тук е равно на r върху 2. Тази страна ето тук, по същата логика, е равна на х върху 2. Колко е площта на напречното сечение? Тя е равна на (х/2) на квадрат. Значи това е равно на (х/2) на квадрат, което е равно на х на квадрат, върху 4. Това е 1/4 от площта на основата. А какво се случва тук? Площта на това напречно сечение е пи по (r/2) на квадрат, което е равно на пи по r на квадрат, върху 4. Това е равно на 1/4 по пи, по r на квадрат, което е равно на 1/4 по площта на основата. Площта на основата е равна на пи по r на квадрат. Тук получихме 1/4 по пи, по r на квадрат. Значи площта на сечението е равна на 1/4 от площта на основата. По условие ни е дадено, че площите на основата са равни, което означава, че площите на напречните сечения в тази точка на височината на двете тела са равни. Можем да го направим за 1/4 от височината, за 3/4 от височината. Ще се получи съвсем същото доказателство. Ще получим два подобни триъгълника, а после ще видим, че имаме равни площи, че са равни площите на напречните сечения в тази точка на височината. Така въз основа на принципа на Кавалиери за тримерни тела виждаме, че тези две тела имат еднакъв обем. Интересното тук е, че това ни позволява да разгледаме формулата, която доказахме и видяхме каква е нейната логика в други уроци, за обема на пирамида. Научихме, че обемът на една пирамида е равен на 1/3 по площта на основата, по височината. Тогава казваме, че тази фигура следва да има същия обем. Тя също трябва да има обем, равен на 1/3 по площта на основата, по височината. И понеже и за двете тела площите на основите им са равни, както и височините са равни, тогава двете тела имат равен обем.