Разбиране на формулата за обем на пирамида

В това видео ще говорим за обем на пирамида. Може би вече ти е позната формулата за обема на пирамида. Но целта на това видео е да ти покажа логиката или да разгледаме защо е такава формулата за обема на пирамида. Първо ще начертая една пирамида. Ще я направя с правоъгълна основа. В зависимост от това как разглеждаме формулата, можем да направим и по-общ случай. Нашата пирамида изглежда ето така. Може би се досещаш как би изглеждала формулата за обем на пирамида. Да кажем, че това разстояние ето тук е х. Това разстояние ето тук, тази дължина тук е у. После имаме височината на пирамидата. За да отидем от центъра право до върха, или ако измерим това разстояние ето тук, това е височината на пирамидата. Ще го означа като z. Може би ти прави впечатление, че имаме три измерения, така че ако умножа тези три размера, това ще ни даде мерните единици за обем. Но ако просто умножим х по у, по z, това ще ни даде обема на цялата правоъгълна призма, в която е вписана тази пирамида. Това ще ни даде обема на това тяло, което очевидно е по-голямо, има по-голям обем от обема на самата пирамида. Пирамидата се побира изцяло в нея. Това тук е върхът на пирамидата, върху стената, ето така. Може би се досещаш, че обемът на пирамидата е равен на х по у, по z, по някаква константа. В това видео ще докажем какво представлява тази константа, като приемем, че така изразеният обем на пирамидата е приблизително равен на обема на тялото. За да подпомогнем работата си, ще начертая една по-голяма правоъгълна призма, която ще разделя на шест пирамиди, които изцяло запълват обема на правоъгълната призма. Да си представим първо една пирамида, която изглежда приблизително по този начин, като широчината ѝ е х, дължината ѝ е у, така че това може да е основата ѝ, а височината ѝ е равна на половината от височината на правоъгълната призма. Правоъгълната призма има височина z, значи височината на пирамидата ще бъде равна на z върху 2. На какво ще бъде равен обемът на пирамидата въз основа на формулата, която виждаме ето тук? (посочва формулата вляво) Обемът ѝ ще бъде равен на някаква константа k, по х, по у, само че няма да е по z, а ще бъде по височината на пирамидата, която е равна на z върху 2. Значи х по у, по z върху 2, като ще напиша просто по z върху 2, но всъщост мога да го напиша и така – х по у, по z, цялото върху 2. Сега мога да построя друга пирамида със същите размери. Ако просто обърна тази пирамида наобратно, тя ще изглежда по този начин. Тази пирамида също има широчина х, дължина у и височина z върху 2. Значи обемът ѝ също ще е равен на този израз. Колко е общият обем на тези две пирамиди? Той е равен на този израз по 2. Значи общият обем на тези две пирамиди – ще ги начертая по следния начин: Тези две пирамиди, които изглеждат по този начин, ще ги оцветя. Имаме две такива пирамиди. Значи две по обема на пирамидата, ще е равно на две по този израз, или просто на k по х, по у, по z. Ще имаме още пирамиди, например имаме тази пирамида ето тук, като тази стена е нейната основа, после, ако се опитам да начертая пирамида, тя ще изглежда по този начин, тази пирамида ето тук. На колко ще е равен нейният обем? Обемът ѝ ще е равен на k по основата, която е у, по z, значи k по у, по z. Колко е височината ѝ? Височината ѝ е равна на х върху 2. Тази височина ето тук е равна на половината от х. Значи това е k по у, по z, по х върху 2. Или може да напишем по х, а после цялото върху 2. Тук имаме още една пирамида, която е със съвсем същите размери. Тази пирамида ето тук, ако се опитам да я начертая на другата стена, срещу тази, която току-що видяхме, по същество просто обръщаме тази наобратно, и тя има съвсем същите размери. Един начин да разсъждаваме е, че имаме две пирамиди, които изглеждат ето така, и имат тези размери. Това е просто една произволна правоъгълна призма, която разглеждаме тук. Значи имаме две такива пирамиди, и тогава имаме два пъти техния обем, на колко е равно това? Това е равно на 2 пъти този израз. Това е k по х, по у, по z. Интересно. Накрая, но не по значение, имаме още две пирамиди. Имаме тази пирамида, която има тази основа, основата ѝ е ето тук, това е нейната основа, и ако това тяло беше прозрачно, щяхме да можем да видим това, което сега чертая ето тук. След това имаме още една пирамида от другата страна, ето тук, обърната на другата страна. Все едно, че сме обърнали тази пирамида. По съвсем същата логика – само нека да я начертая. Имаме две такива пирамиди, две от тези пирамиди, старая се максимално с чертежа – значи по две. И какъв е обемът на всяка една от тях? И двете имат основа х по z. Значи обемът им ще е равен на k по х, по z, което е площта на техните основи. А после – колко е височината им? Всяка от тези пирамиди има височина у върху 2. Значи по у върху 2, но имаме две такива пирамиди. Умножаваме обема по две, двойките се съкращават и остава k по х, по у, по z. Едно интересно нещо, на което току-що се натъкнахме, е това, че видяхме, че въпреки че тези пирамиди имат различни размери и изглеждат различно, всички те по същество имат равен обем, което само по себе си е много интересно. Ако съберем обемите на всички пирамиди и използваме тази формула, за да ги изразим, ако съберем всички тези обеми, това ще бъде равно на обема на цялата правоъгълна призма. И тогава може би ще можем да намерим стойността на k. Обемът на цялата правоъгълна призма е х по у, по z. Той е равен на сбора от от обемите на пирамидите. Значи е равен на k по х, по у, по z, плюс k по х, по у, по z, плюс k по х, по у, по z, или можем да кажем, че обемът е равен на 3 по k по х, по у, по z. Тук просто събрах обемите на всички тези пирамиди. Значи на колко е равен коефициенът k? Можем да разделим двете страни на 3 по х, по у, по z, за да намерим стойността на k. Делим на 3 по х, по у, по z. Ще ни остане – отдясно всичко се съкращава и остава само k. Отляво остава 1/3. Значи k е равно на 1/3. Ето по този начин, това е нашето доказателство защо обемът на една пирамида е равен на 1/3 по лицето на основата, по височината. Може би ти е позната формулата, записана по този начин, или може би си я виждал/а като 1/3 по лицето на основата, което е х по у – това е лицето на основата, значи лицето на основата по височината, която в този случай е z, но можем да я означим и като h. Можеш да видиш формулата за обем на пирамида записана и по този начин: 1/3 по b по h. Но те са еквивалентни, а сега вече знаеш откъде идва това 1/3.