Анализ на задачи за движение: общо изминато разстояние

Алексей получил следната задача: Една частица се движи праволинейно със скорост v(t) = –t^2 + 8 метра в секунда, като времето е в секунди. В t = 2 частицата се намира на разстояние 5 метра от началната точка. Какво е общото разстояние, което е изминала частицата между t = 2 и t = 6 секунди? Кой израз трябва да използва Алексей, за да реши задачата? Ние всъщност не търсим отговора, а просто трябва да определим кой е подходящият израз. Както винаги, постави видеото на пауза и опитай да решиш задачата самостоятелно. Сега да го направим заедно. Основното във въпроса е колко е общото разстояние, което частицата е изминала между t = 2 и t = 6 секунди? Интересува ни само какво се случва между двете точки, не ни интересува, че разстоянието от началната точка до t = 2 е пет метра. Това тук е излишна информация. Първото нещо, за което трябва да помислим, е, че изминатото разстояние е просто интеграл от функцията за скоростта на преместване. Правихме го вече няколко пъти. За да намерим изменението на някаква стойност, просто вземаме началния момент и крайния момент и после интегрираме функцията на изменението. Само това ли е? Сега трябва да бъдем много внимателни. Ако въпросът беше какво е преместването на частицата между t = 2 до t = 6 секунди, това щеше да е верният отговор. Това е преместването. Преместването от t = 2 до t = 6 секунди. Но тук не се търси преместването. Търси се общото изминато разстояние от частицата. Значи общата дължина на пътя, изминат от частицата. Един начин да разсъждаваме е да интегрираме вместо функцията на скоростта на преместване, когато ще получим преместването, а вместо това ще интегрираме функцията на скоростта на движение. Какво е скоростта на движение? Това е големината на скоростта на преместване в една посока, това е абсолютната стойност на функцията на скоростта на преместване. Абсолютната стойност на функцията на скоростта на преместване ще ни даде, ако интегрираме скоростта на движение, това ще ни даде изминатия път. Изминатият път от t = 2 до t = 6 секунди. Да видим, имаме такъв вариант ето тук. Преместването ето тук е интересен начин да ни заблудят, но не е верният отговор. Това тук, v'(6) ни дава ускорението. Производната на функцията на скоростта на преместване, ускорението в 6-ата секунда, това не ни интересува. Това ни дава абсолютната разлика в скоростта на преместване, в интервала между 6 и 2 секунда, но то не е това, което търсим.