Решен пример: задачи за движение (с определени интеграли)

Да преговорим накратко какво научихме от диференциалното смятане. Нека имаме някаква функция s, която представлява зависимостта на местоположението на една частица спрямо времето в едно измерение. Ако трябва да намерим производната спрямо времето на тази функция s, какво ще получим? Ще получим ds/dt или скоростта, с която позицията се изменя спрямо времето. Има ли друг термин за това изменение на позицията спрямо времето? Това всъщност е скоростта на преместване. Можем да го запишем като скоростта на преместване като функция от времето. И ако трябва да намерим производната на скоростта спрямо времето – можем да го разглеждаме или като втора производна, намираме производната не веднъж, а два пъти от функцията на позицията. Или можем да кажем, че намираме производната спрямо времето на функцията на скоростта на преместване. Това ще бъде, можем да го запишем като това е dv/dt или темпото на промяна на скоростта на преместване спрямо времето. Има ли друг термин за това? Да, това е ускорението. Това е ускорението като функция от времето. Значи започваме с функцията на местоположението, това е позицията като функция от времето. Тази производна спрямо времето ни дава скоростта на преместване. Производната на скоростта спрямо времето дава ускорението. Можем да го разглеждаме и в обратна посока. Ако започнем с ускорението, и намерим примитивната му функция, примитивната функция на ускорението, ще получим... ще го напиша по този начин: Примитивната функция... ще използвам символ за интеграл, за да личи, че намирам примитивната функция. Ще имаме интеграл от примитивната функция на а(f). Това ще ни даде някакъв израз плюс константа с. Можем да кажем, че това е общият вид на функцията на скоростта на преместване. Това ще бъде равно на функцията на скоростта на преместване. За да намерим конкретна функция на скоростта, трябва да знаем скоростта в даден момент. Тогава можем да намерим стойността на константата с. Ако успеем да го направим, тогава отново можем да намерим примитивната функция. Намираме примитивната функция на функцията на скоростта на преместване, което ни дава някакъв израз като функция от t и още една константа. Ако можем да намерим тази константа, тогава ще знаем каква е позицията като функция от времето. Значи тук ще има плюс някаква константа, ако знаем позицията в даден момент, то ще можем да намерим това с. Това е кратък преговор, но и малко допълнение. Можеш да кажеш че не е само от гледна точка на диференцирането, от гледна точка на производните, а и от гледна точка на намирането на примитивната функция. Сега да опитаме да решим една интересна задача. Да кажем, че знаем ускорението на една частица като функция от времето, което е равно на 1. Значи ускорява равномерно с една единица за... всъщност нямаме единица за време. Всъщност нека да е в метри и секунди. Значи това е един метър в секунда, един метър в секунда на квадрат ето тук. Това е ускорението като функция от времето. Да приемем, че не знаем израза за скоростта на преместване, но знаем скоростта в даден момент, като не знаем и израза за позицията. Но знаем позицията в даден момент. Да кажем, че знаем скоростта при t = 3. Нека в t = 3 да е – 3 метра в секунда. Искам да запиша единиците, за да стане по-ясно. Това са метри в секунда на квадрат, това е мерната единица за ускорение. Това е мерната единица за скорост. Да кажем, че знаем, че позицията при t = 2 във втората секунда позицията е –10 метра. Ако разсъждаваме в едно измерение, ако това се движи спрямо една цифрова ос, тогава това е 10 наляво от началната точка. Дадена ни е тази информация и всичко, което записах тук. Можеш ли да намериш действителния израз за скоростта като функция от времето? Скоростта не само при t = 3, а принципно като функция от времето. И позицията като функция от времето. Препоръчвам ти да спреш видеото точно сега. Опитай да го решиш самостоятелно. Хайде сега да го направим заедно. Знаем, че скоростта на преместване като функция от времето е примитивна функция на ускорението като функция от времето. Ускорението е просто 1. Това ще бъде... примитивната функция на това ето тук, това ще бъде t... и да не забравяме нашата константа с. Сега можем да намерим с, тъй като знаем, че v(3) е равно на –3. Ще го запиша. v(3) е равно на 3 плюс с. Просто заместих t навсякъде, където го има, с 3. Ще го направя малко по-ясно. v(3) = 3 + с. Знаем, че това е равно на –3. Значи това е равно на –3. Колко се получава? Ако погледнем тази част от уравнението, само тази част ето тук, ако извадим 3 от двете страни, тогава с е равно на –6. Сега знаем точният израз, който дефинира скоростта като функция от времето. v(t) = t + (–6) = t – 6. Можем да направим проверка. Производната на това спрямо времето е 1. При t =3, 3 минус 6 е минус 3. Значи намерихме скоростта като функция от времето. Сега по подобен начин да намерим позицията като функция от времето. Знаем, че позицията е примитивната функция на функцията на скоростта, така че нека го запишем. Позицията, като функция от времето, ще бъде равна на примитивната функция на v(t), dt. Което е равно на примитивната функция на (t – 6)dt, което е равно на примитивната функция на t, която е t^2/2. t^2/2, виждали сме това и преди. Примитивната функция на –6 е 6t, като не трябва да забравяме константата: плюс с. Значи това е s(t), s(t) е равно на ето това тук. И сега можем да определим константата. Ще го направим, като използваме тази информация ето тук. В момента t = 2 позицията е –10 метра. Значи s(2)... ще го напиша ето така. s(2) в момент 2 секунди, е равно на 2^2/2. Това прави 4/2, което е 2. –6 по 2. Значи минус 12 + с = – 10, това е равно на –10. Получаваме 2 –12, което е минус 10 + с, което е равно на –10. Прибавяме 10 към двете страни, и получаваме, че с е 0. Така определихме функцията на позицията. Тук с е равно на нула. Значи позицията като функция от времето е s(t) = t^2/2 – 6t. Можеш да направиш проверка. Когато t = 2, t^2/2 е равно на 2; минус 12 става –2. Намираме производната и получаваме –6. Тук вече видяхме, че v(3) е –3. Намираме производната спрямо t ето така. Надявам се, че това ти беше приятно.