Задачи за движение с интеграли: сравнение между преместване и изминато разстояние

В това видео ще започнем да говорим за местоположението на обект, който се движи в едно измерение. И за да си свършим работата, ще въведа няколко термина. Първият термин е преместване. Вероятно използваш тази дума в ежедневието и тя буквално означава промяна на местоположението. Другото понятие, което често се бърка с преместването, е изминатият път. Може да кажеш, че това е същото като преместването. След малко ще видим, че това не винаги е същото нещо. Изминатият път, това е общата дължина на пътя, Какво имам предвид? Сега ще използваме малко математически анализ. Имаме функция на скоростта на частицата. Скоростта е функция на времето, равна е на 5 минус t. Това е функция на скоростта в едно измерение. Това ни дава скоростта в хоризонтална посока. Често, когато движението е в едно измерение, хората забравят, че това също е векторна величина. Тази скорост е векторна величина, защото можем да я разглеждаме като положителна, когато се движи надясно, и е отрицателна, когато се движи наляво. Значи тя има посока. Понякога ще видиш векторните величини с малка стрелка над тях, или в плътен шрифт, може да е в плътен шрифт ето така. Аз предпочитам да пиша стрелка, въпреки, че това не е всеобщо прието. Сега да начертаем как изглежда тази функция на скоростта. Направих го предварително. Тук можеш да видиш, че в момент t = 0, нека времето да е в секунди. Скоростта е в метри в секунда. Това са метри в секунда, на тази ос имаме секунди. В момента t = 0 тялото се движи със скорост 5 метра в секунда. Можем да кажем надясно, т.е. скоростта е + 5 метра в секунда. После равномерно се забавя, така че след 5 секунди, точно при t = 5 секунди частицата има скорост нула. И след това има отрицателна скорост, което означава, че се движи наляво. Да помислим за няколко неща. Първо да помислим за преместването през първите пет секунди. През първите пет секунди. Вече няколко пъти видяхме, че ако искаме да намерим промяната на стойността, можем да изчислим интеграл от функцията на скоростта на изменение. Скоростта е скоростта на преместване, можем така да си я представим. Значи преместването през първите 5 секунди – можем да изчислим интеграла от 0 до 5 от нашата функция на скоростта на преместване. Ето така. Можем да го изчислим много бързо. Това е площта ето тук, за което можем да използваме геометрия. Това е триъгълник пет на пет, 5 по 5 е 25, по 1/2, спомни си, че лицето на триъгълника е 1/2 по основата по височината. Значи това е 12,5. Това са метри върху секунда, по секунда, значи 12,5 метра. Това е промяната на местоположението на тази частица през първите пет секунди. Където и да е стартирала, сега тя е на 12,5 метра надясно от там, като приемаме, че надясно е положителната посока. А колко се премества през първите 10 секунди? Това е интересно и те насърчавам да спреш видеото и да помислиш върху това. Какво е преместването през първите 10 секунди. Ще направим същото, интеграл от 0 до 10 от функцията на скоростта на преместване, нашата функция на скоростта в едно измерение, dt. Това е площта от тук чак до ето тук. Цялата тази област. Но може да се досетиш, когато изчисляваш определения интеграл, че когато сме под оста t и над функцията, това е отрицателна област. И всъщност тази област тук ще компенсира напълно тази и ще получим нула метра. Тук може да се зачудиш как става така? Как така след 10 секунди преместването е нула метра? Частицата се е движила през цялото време. Спомни си какво се случи. Първите пет секунди тя се движи надясно, като се забавя през цялото време, а после точно в петата секунда е изминала 12,5 метра надясно. Но после скоростта започва да става отрицателна, и частицата започва да се движи наляво. През следващите пет секунди частицата се придвижва 12,5 метра наляво, и тези двете се компенсират. Частицата е изминала за 10 секунди 12,5 метра надясно и после 12,5 метра наляво, така че промяната на местоположението е нула метра. То не е променено. Сега може би вече разбираш каква е разликата между преместване и изминат път. Ако разгледаме общата дължина на пътя, тогава не ни интересува посоката. Вместо да разглеждаме скоростта на преместване, ние разглеждаме скоростта на движение. В този случай можем да разглеждаме скоростта – особено тук при едномерно движение, това е равно на абсолютната стойност на скоростта на преместване. По-късно, когато разглеждаме няколко измерения, това ще бъде големината на функцията на скоростта на преместване, която е какво прави функцията на абсолютна стойност в едно измерение. Как ще изглежда това, като го начертая? Абсолютната стойност на скоростта на преместване ще изглежда ето така. Ако търсим изминатия път, ще получим, че изминатият път... ще получим интеграл върху съответната промяна на времето за функцията на скоростта ето тук, което начертахме. Обърни внимание, че ако търсим изминатия път, ще го запиша: изминатият път през първите пет секунди, колко ще бъде той? Това е интеграл от 0 до 5 от абсолютната стойност на функцията на скоростта на преместване което е един вид функция на скоростта на движение, dt. Това ще бъде ето тази площ, която вече знаем, че е 12,5 метра. Значи през първите 5 секунди преместването и изминатият път съвпадат. Това е така, защото в този случай функцията на скоростта на преместване е положителна, а абсолютната ѝ стойност също е положителна. Но ако разглеждаме първите 10 секунди, изминатият път за 10 секунди колко ще бъде? Постави видеото на пауза и помисли за това. Това е интеграл от 0 до 10 от абсолютната стойност на функцията на скоростта на преместване, което на какво ще бъде равно? Ще бъде тази площ плюс тази площ ето тук. Значи плюс тази площ ето тук. Значи тук става 5 по 5 по 1/2 плюс 5 по 5 по 1/2, което общо е 25 метра. Частицата изминава 12,5 метра надясно, после се връща 12,5 метра наляво. Преместването, общата промяна на местоположението е 0, но общата дължина на изминатия път е 25 метра.