Основно съдържание

Курс: Интегрално смятане > Раздел 1

Урок 1: Въведение в натрупването на изменения

Разглеждане на натрупването на изменения

Определените интеграли се тълкуват като натрупване на величини. Научи защо това е така и как може да се използва за анализиране на ситуации от реалния свят.

Определеният интеграл може да се използва за представяне на информация относно нарастването и нетната стойност на изменението в приложен контекст. Нека да видим как се прави.

Разглеждане на натрупването в случай от реалния свят

Да кажем, че се пълни резервоар с вода с постоянна скорост

5 L/min

(литри в минута) за

6 минути

. Можем да намерим обема на водата (в

L

), като умножим времето по скоростта:

\begin{aligned} Обем & = Време \times Скорост \\ = 6 min \cdot 5 \frac{L}{min} \\ = 30 \frac{min \cdot L}{min} \\ = 30 L \end{aligned}

Ще разгледаме сега случая графично. Тази скорост може да бъде представена като константна функция

r_{1} (t) = 5

Всяко хоризонтално деление на тази графика представлява една минута, а всяко вертикално деление представлява литри в минута, следователно площта на всяко квадратче се измерва в литри:

\underset{широчина}{min_{⏟}} \cdot \underset{височина}{\underset{⏟}{\frac{L}{min}}} = \underset{площ}{\underset{⏟}{L}}

Освен това площта на правоъгълника, ограничен от графиката

r_{1}

и хоризонталната ос между

t = 0

t = 6

, ни дава обема на водата след

6

минути:

Да кажем, че сега се пълни друг резервоар, но този път скоростта не е константа:

r_{2} (t) = 6 \sin (0, 3 t)

Как можем да изчислим обема на водата в този резервоар след

6

минути? За да направим това, нека разгледаме приближението на площта под кривата между

t = 0

t = 6

със Сумата на Риман. За удобство нека използваме приближение, в което всеки правоъгълник е широк

1

минута.

Видяхме как всеки правоъгълник представя обем в литри. По-конкретно, всеки правоъгълник в тази Сума на Риман е приближение на обема вода, който се добавя към резервоара на всяка минута. Когато съберем всички площи. т.е. когато всичките обеми се натрупат, получаваме приближение за общия обем вода след

6

минути.

Като използваме повече правоъгълници с по-малка ширина, ще получим по-добро приближение. Ако вземем границата на натрупване за безкрайно много правоъгълници, ще получим определения интеграл

\int_{0}^{6} r_{2} (t) d t

. Това означава, че точният обем вода след

6

минути е равен на площта, ограничена от графиката

r_{2}

и хоризонталната ос между

t = 0

t = 6

И така, интегралното смятане ни позволява да намерим общия обем след

6

минути:

\int_{0}^{6} r_{2} (t) d t \approx 24, 5 L

Определеният интеграл от скоростта на изменение на една величина показва сумарното изменение на тази величина.

В примера, който видяхме, имахме функция, която описва някаква скорост. В нашия случай това е скоростта на изменение на обем за някакво време. Определеният интеграл на тази функция ни даде натрупването на обема—величината, чиято скорост беше дадена.

Друга важна характеристика тук е времевият интервал на определения интеграл. В нашия случай времевият интервал беше от началото

(t = 0)

до

6

минути след това

(t = 6)

. Следователно определеният интеграл ни даде сумарното изменение в количеството вода в резервоара между

t = 0

t = 6

Това са двата начина, по които обикновено разглеждаме определените интеграли: те описват натрупването или нарастването на някаква величина, следователно целият определен интеграл ни дава сумарното изменение на тази величина.

Защо "сумарното изменение" на величината, а не просто самата величина?

Използвайки горния пример, забележи, че не ни беше казано дали е имало някакво количество вода в резервоара преди

t = 0

. Ако резервоарът е бил празен, тогава

\int_{0}^{6} r_{2} (t) d t \approx 24, 5 L

наистина е количеството вода в резервоара след

6

минути. Но ако резервоарът вече е съдържал, да кажем,

7

литра вода, тогава реалният обем вода в резервоара след

6

минути ще е:

\underset{обем при t = 0}{\underset{⏟}{7}} + \overset{промяна в обема от t = 0 до t = 6}{\overset{⏞}{\int_{0}^{6} r_{2} (t) d t}}

Това е приблизително

7 + 24, 5 = 31, 5 L

Запомни: Определеният интеграл винаги ни дава сумарното изменение на една величина, а не реалната стойност на тази величина. За да намерим реалната стойност на величината, трябва да добавим началното състояние към определения интеграл.

Задача 1.а

Задача 1 ще те преведе през процеса на анализиране на ситуация, която включва натрупване:

При време

t

една популация от бактерии расте със скорост

r (t)

грама за ден, където

t

се измерва в дни.

Какви са мерните единици на величината, представена от определения интеграл $\int_{0}^{8} r (t) d t$ ‍?

Често срещана грешка: Използване на неподходящи мерни единици

Както при всички приложни текстови задачи, единиците играят важна роля тук. Не забравяй, че ако

r

е скорост на изменение на функция, измервана в

\frac{Величина A}{Величина B}

, тогава нейният определен интеграл ще се измерва във

Величина A

Например в Задача 1

r

се измерваше в

\frac{грамове}{ден}

, затова определеният интеграл на

r

се измерваше в

грамове

Задача 2

Идън е вървял със скорост

r (t)

километра за час (където

t

е времето в часове).

Какво означава $\int_{2}^{3} r (t) d t = 6$ ‍?

(Избор А)
Идън е изминавал $6$ ‍ километра всеки час.
(Избор Б)
Идън е изминал $6$ ‍ километра за $3$ ‍ часа.
(Избор В)
Идън е изминал $6$ ‍ километра през третия час.
(Избор Г)
Скоростта на Идън се е увеличила с $6$ ‍ километра в час между часовете $2$ ‍ и $3$ ‍.

Често срещана грешка: Неправилно тълкуване на интервала на интегриране

За всяка скорост на изменение на функция

r

определеният интеграл

\int_{a}^{b} r (t) d t

описва натрупването на стойностите между $t = a$ ‍ и $t = b$ ‍.

Често срещана грешка е да се пренебрегне една от границите (обикновено долната), което води до грешно тълкуване.

Например в Задача 2 ще бъде грешка да се тълкува

\int_{2}^{3} r (t) d t

като разстоянието, което Идън е извървял за

3

часа. Долната граница е

2

, затова

\int_{2}^{3} r (t) d t

е разстоянието, което Идън е извървял между

2^{-рия}

час и

3^{-тия}

час. Освен това в подобни случаи, където времевият интервал е точно една единица, обикновено казваме "през

3^{-тия}

час."

Задача 3

Приходът на Джулия е

r (t)

хиляди долара на месец (където

t

е месецът от годината). Джулия е спечелила

3

хиляди долара през първия месец от годината.

Какво означава $3 + \int_{1}^{5} r (t) d t = 19$ ‍?

(Избор А)
Джулия е спечелила допълнително $19$ ‍ хиляди долара между месеците $1$ ‍ и $5$ ‍.
(Избор Б)
Джулия е печелила средно $19$ ‍ хиляда долара на месец.
(Избор В)
Джулия е спечелила $19$ ‍ хиляди долара през петия месец.
(Избор Г)
В края на петия месец Джулия е изкарала общо $19$ ‍ хиляди долара.

Често срещана грешка: Да се пренебрегва началното състояние

Когато имаме скорост на изменение на функция

f

и примитивна функция

F

, определеният интеграл

\int_{a}^{b} f (t) d t

ни дава сумарното изменение на

F

между

t = a

t = b

. Ако добавим първоначалното състояние, ще получим реалната стойност на

F

Например в Задача 3

\int_{1}^{5} r (t) d t

представя промяната в количеството пари, които Джулия е спечелила между

1^{-вия}

5^{-ия}

месец. Но тъй като добавихме

3

, което е сумата, която Джулия е имала в

1^{-вия}

месец, изразът сега представя реалната сума в

5^{-ия}

месец.

Връзката с приложните скорости на изменение

В диференциалното смятане научихме, че производната

f^{'}

на една функция

f

показва моментната скорост на изменение на

f

за дадената величина. Сега отиваме в обратната посока! Всяка скорост на изменение на функция

f

има примитивна функция

F

, която дава натрупаната стойност на величината, чиято скорост е описана от

f

	Величина	Скорост
Диференциално смятане	$f (x)$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍
Интегрално смятане	$F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ ‍	$f (x)$ ‍

Задача 4

Функцията

k (t)

показва количеството кетчуп (в килограми), което е произведено във фабрика за сосове за време

t

(в часове) в определен ден.

Какво показва $\int_{0}^{4} k^{'} (t) d t$ ‍?

(Избор А)
Количеството кетчуп, което е произведено през първите $4$ ‍ часа.
(Избор Б)
Моментната скорост на производство при $t = 4$ ‍.
(Избор В)
Времето, което е нужно за произвеждане на $4$ ‍ килограма кетчуп.
(Избор Г)
Средната скорост на изменение на производството на кетчуп през първите $4$ ‍ часа.

Искаш ли още упражнения? Пробвай това.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.