Решен пример: натрупване на изменение

Джъгхед е във ваната и изминават 20 минути преди той да забележи, че ваната е започнала да изпуска. След като забелязал това, той отворил сифона и останалата вода се източила за 40 минути. Скоростта, с която водата се източила от горещата вана, е дадена в галони в минута. Колко галона вода е имало в горещата вана, преди да започне да изтича? Нека да видим какво е показано на графиката. По вертикалната ос са дадени галони в минута, по хоризонталната ос t е времето в минути. Виждаме ето тази синя линия, която представлява скоростта, с която водата изтича от горещата вана. В нулевата минута водата реално още не е изтичала от горещата вана, а след това не просто се източва, а скоростта на източване нараства. Следователно през първите 10 минути водата се източва със скорост от 1 галон в минута, а през следващите 20 минути водата се източва със скорост 2 галона в минута. Той го забелязва и отваря сифона. Предполагам, че е искал да ускори процеса. Отваря сифона и изведнъж водата започва да изтича с много по-висока скорост, с 20 галона в минута, но след това скоростта намалява. Може да помислим защо скоростта намалява от физична гледна точка. Може би налягането намалява или нещо друго. Няма да се задълбочаваме във физиката на процеса, а просто ще приемем тази графика като факт. Скоростта, с която водата се източва, намалява през цялото време до 60-тата минута, което е 40 минути след като е отворил сифона. На 60-тата минута цялото количество вода всъщност е източено. Като вземем това предвид, как ще намерим колко галона вода е имало в горещата вана, преди да започне да се източва? Препоръчвам ти да спреш видеото и да се опиташ да решиш задачата самостоятелно, преди аз да го направя. За да отговорим на въпроса "Колко галона вода е имало в горещата вана, преди да започне да тече?", е все едно да отговорим на въпроса "Колко общо топла вода е изтекла?". Какво количество вода е изтекла? За да разгледаме това, може просто да се върнем към това, което знаем преди да започнем да изучаваме математически анализ. Дадено е нещо, което се случва с постоянна скорост, нека да изберем да са галони в минута. Предполагам ще кажеш, че това отново е същата ситуация. Това е времето в минути. Нека да кажем, че водата изтича с постоянна скорост. Искаш да намериш колко вода е изтекла за определен период от време, нека да кажем, че е ето този интервал тук. Нека да го наречем делта t. Тогава просто ще умножиш скоростта в този интервал от време, като ще представим това като тази оранжева височина ето тук – по количеството време, което е изминало. Това ще ни даде площта под кривата в рамките на дадения интервал. Площта под кривата в рамките на дадения интервал. Площта ще ни даде галоните, които са изтекли за период делта t. Това е приложимо не само когато скоростта е постоянна. Ако скоростта изглежда по подобен начин, както сме виждали и в други уроци, може да намериш количеството, което е изтекло за определен интервал от време, нека да кажем за ето този интервал тук, като всъщност намерим площта под кривата в рамките на дадения интервал. Мерните единици отговарят. Ако умножим галони в минута, по минута, площта ще се получи в галони. Представено по друг начин, това е свързано с намирането на лицето на този трапец. За да сметнеш лицето на трапец, може да намериш средната стойност на височината на трапеца, която е равна на средната стойност между началния и крайния момент. Вземаш средната стойност, и това е приложимо, когато графиката е права като тази, т.е ако вземеш тази средна височина и я умножиш по изменението на времето, ще получиш тази площ. Това е друг начин да разглеждаш задачата. Вземаш средната скорост в дадения интервал, умножаваш я по времето в дадения интервал, и това ще ти даде общото количество галони. Следователно просто ще използваме тази идея ето тук. Всъщност просто трябва да намерим площта под кривата в рамките на целия интервал, когато водата по същество е изтичала или е била източвана. Следователно търсим площта под кривата между 0 минути и 60 минути. Тогава ще се получи ето тази площ, която щриховам с цикламено, плюс цялата тази площ също. За улеснение просто ще разделя този трапец на части. Тогава имам ето тази триъгълна част тук. Може да разглеждам тази част като трапец, но просто ще я разделя на триъгълник и правоъгълник. След това имам ето тази част тук в зелено. На какво е равна площта на всички тези части? За площта тук имаме 20 минути по 2 галона в минута, по 1/2. Това ни дава площта на този триъгълник. Следователно се получава резултат 20 галона. Виждаме, че мерните единици са напълно подходящи. Това е количеството, което е изтекло в първите 20 минути. След това тази зелена площ ще бъде равна на 40 минути по 10 галона в минута. Всъщност, може би виждаш мерните единици... тук разделям процеса по странен начин, затова просто ще запиша тази площ без мерни единици. Тогава 40 по 10 е равно на 400. Накрая, в синьо, имам 40 по ето тази височина тук между 10 и 20, която е равна на 10. Това обаче ще го умножа по 1/2. Следователно ще се получи 40 по 10, по 1/2, което е равно на 200. Като събереш всички тези площи заедно, ще получиш 400 плюс 200, което е равно на 600, плюс 20. Получават се 620 галона. 620 галона е количеството вода, което е изтекло, или колко вода е имало във ваната преди да започне да тече. Този обем е доста голям за нормална вана, но може да е джакузи или нещо подобно.