Намиране на дясна риманова сума за функция, зададена в табличен вид

Представи си, че трябва да апроксимираме площта между оста х и графиката на функцията f от х от х равно на 1 до х равно на 10 чрез дясна риманова сума с три равни интервала. Дадена ни е таблица със стойности на функцията f. Препоръчвам ти да спреш видеото и да опиташ да намериш апроксимацията на площта между оста х и графиката на функцията f от х равно на 1 до х равно на 10, като използваш дясна риманова сума с три еднакви интервала. Предполагам, че опита. Нека се опитаме да решим задачата заедно. А това е интересно, защото не разполагаме с графика на цялата функция. Имаме само някои стойности на функцията в определени точки. Както ще видим обаче, това е всичко от което се нуждаем, за да получим приблизителна стойност за площта. Не знаем колко близко ще получим тази стойност до истинската площ само чрез тези точки, но поне може да образуваме дясна риманова сума, за да я пресметнем приблизително, тоест да направим апроксимация чрез дясна риманова сума. Ще начертая една координатна система, защото когато работиш с риманови суми, не е задължително да използваш графика, но по-лесно можеш да осмислиш какво се случва, ако можеш да го представиш графично. Да видим. Стойностите на х са от 1 до 10. Това е едно, две, три, четири, пет, шест, седем, осем, девет, десет. Дали са ни стойностите на функцията в точката х равно на 1. х равно на две, три, четири. х равно на седем. Пет, шест, седем. Осем, девет, десет. И за х равно на 10. Казват ни, че когато х е равно на 1, то функцията има стойност 6. След това стигаме до 8, до 3 и до 5. Нека да ги нанесем, т.е. ще нанесем стойности до 8 на вертикалната ос. Едно, две, три, четири, пет, шест, седем, осем. Дадено ни е, че когато х е равно на 1, то f от 1 е равно на 6, Това е едно, две, три, четири, пет, шест, седем, осем. Тоест това ето тук е f от 1 или точката е (1; 6). След това имаме точката (4; 8), ще я поставя някъде ето тук. Следващата точка на нашата графика е (7; 3), y равно на f от х, така че точката (7; 3) ще я поставя точно тук. След това имаме (10; 5). Ще я поставя ето тук. Това е всичко, което знаем за функцията. Не знаем как точно изглежда нейната графика. Функцията би могла да изглежда като нещо такова. Може да прави нещо такова. Опа! Нарисувах нещо, което не изглежда като функция. Може да прави нещо такова и да има резки колебания. Може и да е хубава и гладка и просто да се движи и да прави нещо подобно. Например просто да свързва точките. Не знаем, но все пак можем да намерим апроксимация на площта, като използваме риманова сума с три равни интервала. Как ще го направим? Вземаме площта от х равно на 1 до х равно на 10. Ще да направя тези граници по-ясни. Тази е от х равно на 1 до х равно на 10. Сега искаме да разделим площта на три равни части. А тук има три много естествени интервала, ако изберем всеки отделен интервал да е широк три единици. Това може да е един интервал. Това може да е друг интервал. Когато съставяш риманови суми, не е нужно да имаш три еднакви интервала, въпреки че точно това ще виждаш най-често. Просто разделихме интервала, като тръгнахме от 1 до 10, на три равни части, които имат широчина три единици. Това е равно на три, това е три и това е три. Въпросът е как да дефинираме височината на всяко от тези деления, които ще бъдат някакви правоъгълници? Тук е мястото, където прилагаме дясна риманова сума. Ако образувахме лява риманова сума, то щяхме да използваме лявата граница на всяко деление, и стойността на функцията там, за да дефинираме височината на правоъгълниците. Ето това щеше да се получи при лява риманова сума, но сега използваме дясна риманова сума. Използваме дясната граница на всяко едно такова деление, за да дефинираме височината. Дясната границата е при х равно на 4 за този първи правоъгълник. f от 4 е равно на 8. Ще използваме това като височина на първия правоъгълник. Това е апроксимиране на площта под тази част от кривата. Аналогично, за този втори правоъгълник, понеже използваме дясна риманова сума, използваме стойността на функцията, отговаряща на дясната граница. Дясната граница е равна на седем. Стойността на функцията е 3. Това ще бъде втори правоъгълник, втората част, която използваме, за да апроксимираме площта. И сега последно, но не по важност. Ще използваме дясна риманова сума с три интервала, когато х е равно на 10. f от 10 е равно на 5. Ето така. Тогава, за да намерим апроксимация по метода на Риман чрез дясна риманова сума и определените деления, за да апроксимираме площта, то просто ще съберем площите на всички правоъгълници. Ето този първи правоъгълник е широк 3 единици. А колко е висок? Височината тук е равна на f от 4, което е равно на 8. Следователно площта му е равна на 24 квадратни единици, няма значение какви са тези единици. Това тук е 3 по височината. Ето тук е 3, f от 7 е равно на 3. Тогава имаме 9 квадратни единици. Накрая това тук е 3, т.е. широчината е равна на 3, умножено по височината, по f от 10, която е равна 5. Тоест 3 по 5, което ни дава 15. Тогава полученото приближение за площта ще е сумата от тези три стойности. Получава се 24 плюс... Нека да видим. 9 плюс 15, което отново е 24, т.е. 24 плюс 24, това е равно на 48. Получихме площта! Като използвахме само таблица с данни, успяхме да намерим апроксимация на площта. А сега, отново, не знаем колко е точно това приближение. Зависи от това какво е поведението на функцията, т.е. как изглежда графиката ѝ. Може да съществува случай, в който това да е много добро приближение. Може би функцията прави нещо такова. Може би просто... ще направя... Може би функцията прави нещо такова, (чертае на екрана) и в такъв случай това, което току-що направихме, е много добро приближение. А може би функцията прави нещо ето такова (чертае на екрана) и тогава в тази ситуация това може да е много неточно приближение. Но успяхме да намерим някаква приблизителна стойност, като просто използваме дясна риманова сума и дадените ни таблични стойности.