Риманови суми с излишък и недостиг

В условието се казва: "Разгледай лявата и дясна Риманова сума, които са приближение на площта под кривата y равно на g от х, в интервала от х равно на 2 до х равно на 8. Искаме да получим приблизителната стойност на площта на този светлосин участък. Приблизителната стойност по-голяма ли е от действителната стойност, или е по-малка от нея?" Нека да помислим върху всеки от тези въпроси. Нека да разгледаме лявата и дясната сума на Риман. Първо лявата. Просто ще напиша съкратено 'лява' за лявата сума на Риман. Не са ни казали на колко части да разделим дадения интервал за да получим приблизителната стойност на площта, така че това избираме ние. Да кажем, че разделяме дадения интервал на три части и искаме те да са равни. Не е нужно да бъдат, но нека да кажем, че ще ги направим равни. Първата част ще бъде от 2 до 4. Следващата ще бъде от 4 до 6. А по-следващата ще бъде от 6 до 8. За да намерим лявата риманова сума, ще използваме лявата граница на всяка една част, за да намерим височината. Изчисляваме стойността на функцията за лявата граница на всяка една от тези части като височина на получените правоъгълници. Ще използваме g от 2, за да намерим височината на първия правоъгълник, ето така. След това ще използваме g от 4 за следващия правоъгълник. Намираме се ето тук. След това ще използваме g от 6, за да представим височината на третия и последен правоъгълник ето тук. Когато сме направили чертежа по този начин, е очевидно, че лявата риманова сума ще бъде по-голяма от реалната площ. Откъде разбираме, че е така? Защото тези правоъгълници, или площта, която се опитваме да получим с приближение, се съдържа в правоъгълниците. А тези правоъгълници имат по една част в повече ето тук, която е в повече от площта под кривата, която се опитваме да апроксимираме. Като правило, когато работим с функция, която е намаляваща в избрания интервал ето тук, строго намаляваща през цялото време, ако използваме лявата граница на всяка от тези части, тогава ще получим по-голяма площ от реалната. Това е така, защото лявата граница, т.е. стойността на функцията ето тук, е по-високо от стойността на функцията във всяка една друга точка в тази част на площта под кривата. Ето защо за намаляващи функции лявата риманова сума дава приблизителна оценка на площта с излишък. Нека сега да разгледаме дясната риманова сума. Може би вече предполагаш, че ще се получи обратното, но нека да го визуализираме. Ще използваме същите три части. Сега, обаче, ще използваме дясната страна на всяка една от тези части, за да дефинираме височината. За първия правоъгълник височината ще бъде дефинирана от стойността на g от 4. Това е ето тук. След това за втория правоъгълник височината е стойността на g от 6. Това е ето тук. За третия правоъгълник височината ще е равна на g от 8. Ще ги защриховам, за да стане ясно за кои правоъгълници става дума. Това ще бъде дясната риманова сума, за да апроксимираме площта. Тук е много ясно, че приблизителната площ ще е по-малка от реалната. По-малка е, защото виждаме във всеки от тези интервали, че дясната риманова сума или правоъгълника, който използваме в дясната Риманова сума, е по-малка част от площта, която се опитваме да пресметнем. Не успяваме да покрием цялата площ, изпускаме ето тази площ ето тук. И отново, това се получава по този начин, защото функцията е строго намаляваща. Следователно, ако използваш точката от десния край на всяка част, или дясната страна на всеки един интервал, за да дефинираш височината, то дясната стойност на g е най-ниската стойност на g за дадения интервал. Следователно в тази ситуация имаме приблизителната оценка на площта с недостиг от това, което може да определим като средната стойност на височината за функцията в интервала. Следователно в тази ситуация имаме по-малко по стойност приближение. Ако функцията беше строго нарастваща, тогава тези два резултата щяха да си сменят местата. Има много функции, които не са нито строго нарастващи, нито строго намаляващи. Тогава ще зависи от функцията каква е приблизителната стойност спрямо реалната. Понякога дори ще зависи от начина, по който разделяме площта под кривата, дали приблизителната стойност е по-малка или по-голяма от реалната площ.