Разработен пример: Риманови суми с излишък и недостиг

Дадена е графиката на непрекъснатата функция g. Интересува ни площта под кривата в интервала от х равно на минус 7 до х равно на 7. Ще използваме риманови суми, за да я апроксимираме. Ето това е площта, за която става дума. Оцветена е в този светлосин цвят. "Подреди площите във възходящ ред, като поставиш най-малката площ първа." Това е картинка от упражнение от Кан Академия, където имаш възможност реално да избереш и да разместиш тези правоъгълници. Но това е само картинка. Затова, вместо да ги премествам, просто ще напиша поредни номера, като ги подредя от най-малката към най-голямата, като едно ще бъде най-малката площ, а три ще бъде най-голямата площ. Спри видеото и опитай да помислиш върху задачата. Коя от тези стойности е най-малката, коя е средната, и коя е най-голямата? Нека просто да начертаем лява риманова сума, за да видим как наистина изглежда тя, и да я сравним с истинската площ. Може да разделим интервала на произволен брой части. Предлагам да използваме по-малък брой части, защото искаме само да добием обща представа за стойностите. И дори не е нужно частите да бъдат равни. Нека да започнем с лява риманова сума. Искаме да започнем в х равно на минус 7 и да стигнем до х равно на 7. Нека да кажем, че това тук е първият правоъгълник. Тогава това е първата част. Използваме лява риманова сума, така че ще използваме стойността на функцията в лявата граница на интервала, която в случая е минус 7, т.е. х равно на минус 7. Стойността на функцията в тази точка е равна на 12. Това ще бъде първият правоъгълник. Вероятно вече виждаш, че това ще бъде приближение с излишък спрямо истинската площ. Следващата част ще започва от тук, така че това ще бъде височината на правоъгълника. Отново напомням, че не е нужно интервалите да бъдат равни. Често са такива, но просто показвам как биха изглеждали, ако са различни. Това отново е лява риманова сума. Напомням, че това е апроксимация с излишък, истинската площ, която искаме да намерим, е по-малка от площта на ето този правоъгълник. И накрая ще изберем третата част да започва ето тук, в точката х равно на 3. Използваме лявата граница на интервала, т.е. стойността на функцията в тази точка, за да дефинираме височината на правоъгълника. Отново виждаш, че това е приближение с излишък. Следователно лявата риманова сума със сигурност включва излишък. Ясно е защо се получава така. Тази функция никога не нараства, тя само намалява или остава плоска в дадени точки. За функция като тази лявата граница, т.е. стойността на функцията в лявата граница, ще бъде равна или по-висока от всяка една друга стойност, която функцията приема в дадения интервал. Следователно ни остава цялата тази допълнителна площ, която е част от излишъка. Или площта, която е по-голяма от реалната площ, която искаме да апроксимираме. Сега да разгледаме дясната риманова сума. За целта ще разделя интервала на части по различен начин. Да кажем, че първата част обхваща интервала от минус 7 до минус 5. Тук ще използваме дясната граница, за да дефинираме височината. f от минус 5, по-точно g от минус 5. Това е стойността ето тук. Това е нашият първи правоъгълник. Може би за следващия правоъгълник дясната граница да е х равно на 0. Тогава ще се получи ето така. Всъщност може би да направим четири правоъгълника. Може би за третата част да изберем дясната граница да е в точката х равно на 3. Тогава ще изглежда ето така. И накрая за четвъртото деление просто ще изберем х равно на 7. Използваме десните граници на интервалите. Запомни, че образуваме дясна Риманова сума, така че ще използваме дясната граница. Стойността на функцията там се пада ето тук. Сега можеш да видиш за всяко една от избраните части как правоъгълниците имат недостиг в сравнение с реалната площ под кривата. "Недостиг на площ." И това е така, защото в дадения случай функцията никога не нараства. Или намалява, или остава плоска. Следователно, ако използваш стойността на функцията в дясната граница на интервала, то стойността ѝ ще бъде по-малка. Никога няма да бъде по-голяма от стойността, която функцията приема в останалата част от избрания интервал. Тоест навсякъде апроксимираме с недостиг на площ. Липсват ето тези участъци. Цялата тази площ ето тук не се включва. Следователно имаме приближение с недостиг. Тогава, за да подредим отговорите във възходящ ред, то дясната риманова сума е най-малка. Тя е приближение с недостиг. След това се нарежда реалната стойност на площта под кривата, т.е. просто реалната площ под кривата. И накрая следва лявата риманова сума, която е приближение с излишък.