Интегриране чрез заместване: дефиниране на 𝘶

В настоящия урок ще се упражняваме в първата стъпка от интегрирането със заместване, която често е най-трудното нещо, когато започваш да я прилагаш. Става дума за разпознаването кога интегрирането със заместване е подходящо и след това избор на подходящ израз за полагане на u. Нека да започнем със следния пример. Да кажем, че искаме да намерим неопределения интеграл от 2х плюс 1, умножено по квадратен корен от х квадрат плюс х, dx. Приложимо ли е тук интегриране със заместване? Ако да, то как ще дефинираш u? Спри видеото и помисли самостоятелно. Добре, просто следва да си припомним, че интегрирането със заместване е верижното правило, приложено в обратна посока. Нека си припомним какво гласи верижното правило. Нека е дадена една съставна функция. Да кажем, че е f от g от x. Искаме да намерим производната ѝ спрямо х. Тя ще бъде равна първо на производната на външната функция спрямо вътрешната функция. Тоест f' от g от x, умножено по производната на вътрешната функция. По производната на вътрешната функция. Интегрирането със заместване представлява намиране на подобна връзка между функции под интеграла. Виждаме ли тук потенциална функция, например g от х, по чиято производна е умножено? Виждаме и това е точно този израз под корена. Ако разгледаме израза х^2 + х, и искам това да е u, то каква е производната му? Производната на х^2 + х е равна на 2х + 1. Следователно следва да направим това полагане (заместване). Ако положим u да е равно на х^2 + х, то може да кажем, че du/dx, т.е. производната на u спрямо х, е равна на 2х + 1. Ако приемем, че диференциалите са променливи или числа, то може да умножим двете страни на уравнението по dх. Което всъщност не се прави в математиката, но в случая е подходящо. Тогава може да кажем, че е равно на 2х + 1, по dx. Интересното сега е, че u присъства ето тук. И забележи, че присъства и изразът 2х + 1, по dx. Необичайно е да видиш записан един интеграл така, както ще го запиша, но ще го направя. Целта е да можеш наистина да видиш, че това е произведение от три неща. Много често хората просто приемат, че dx е някаква част от оператора (означението) за интеграл. Но ти може да смениш мястото му. И тук дори е основателно. Записваме интеграл от квадратен корен от х^2 + х, умножено по 2х плюс 1, dx. Ако искаш да е още по-ясно, можеш да поставиш отделните изрази в скоби ето така. Този израз тук е нашето u. А този тук е нашето du. Може да запишем, че това е равно на интеграл от квадратен корен от u... защото х^2 + х е равно на u, умножено по du. Сега е много по-лесно за изчисление. Ако все още се объркваш тук, може би ще се досетиш, ако запиша интеграла като u на степен 1/2. Сега може просто да приложим правилото за примитивна функция, за да го изчислим. А след това може да заместим отново положения израз за u. Тоест, когато изчислим на какво е равна примитивната функция, отново ще заместим обратно положения с х израз вместо u.