Интегриране чрез заместване: умножение с константа

Нека намерим неопределения интеграл от квадратен корен от 7 по х плюс 9, dx. Първият ми въпрос към теб е: дали тук е подходящо да интегрираме със заместване? Когато разглеждаме израза, може би естественото нещо е да положим (заместим) u да е равно на 7 по х плюс 9. Виждаме ли обаче производната му някъде тук? Нека да видим. Ако положим u да е равно на 7 по х плюс 9, на какво ще бъде равна производната на u спрямо х? Производната на u спрямо х ще бъде равна на 7. Производната на 7 по х е равна на 7. Производната на 9 е равна на 0. Виждаме ли 7 да се намира някъде тук? Не, не виждаме. Какво може да направим обаче, за да получим 7 под интеграла, но без да променяме стойността на интеграла? Има едно хубаво нещо, което сме виждали множество пъти. При изчисляване на интеграли, скаларните величини (числа) могат да бъдат внасяни или изнасяни от интеграла. Нека само да си припомним. Ако имам интеграл от някакво число а, умножено по f от x, dx, това е равно на същото като а, умножено по интеграл от f от x, dx. Интеграл от число, умножено по функция, е равно на числото, умножено по интеграл от функцията. Нека да отделя това ето така. Като вземем това предвид, можем ли да умножим и разделим на нещо този интеграл, така че под интеграла да се появи 7? Може да умножим и разделим на 7. Нека си представим следното. Нека запишем по друг начин първоначалния интеграл. Ще нарисувам една стрелка, за да пиша направо отдолу. Може да запишем първоначалния интеграл като равен на интеграл от 1/7, умножено по 7, умножено по квадратен корен от 7 по х плюс 9, dx. Може да изнесем числото 1/7 извън интеграла. Не е задължително, но сега може да го запишем като 1/7, умножено по интеграл от 7 по квадратен корен от 7 по х плюс 9, dx. Сега може да положим (заместим) 7 по х плюс 9 да е равно на u. Имаме ли производната на този израз под интеграла? Разбира се! Ето тази седмица тук. Знаем, че du – ако искаме да го запишем с диференциали – е равно на 7 по dx. И така, du е равно на 7 по dx. Тази част ето тук е равна на du. Ако искаме да покажем къде се намира u, то това просто ще бъде изразът 7 по х плюс 9. Това е нашето u. Нека запишем този неопределен интеграл, изразен чрез u. Ще бъде равно на 1/7, умножено по интеграл... ще запиша седмицата последна... по интеграл от квадратен корен от u, du, което е 7 по x, dx. Може да запишем този интеграл като u на степен 1/2. Така ще е по-лесно да използваме правилото за намиране на примитивната функция. Ще бъде равно на 1/7, умножено по интеграл от u на степен 1/2, du. Нека да го обясня. Това u ще го запиша с бяло. Нека да са еднакъв цвят. Това du също, защото е равно на това du тук. Коя е примитивната функция на u на степен 1/2? Увеличаваме степента на u с единица. Тогава този интеграл е равен на следното. Нека не забравяме, че има 1/7 изнесено отпред. Получава се 1/7, умножено... ако увелича степента с 1 ще се получи u на степен 3/2, което е равно на 1 плюс 1/2... по u на степен 3/2. u на степен 3/2. Сега следва да умножим този нов израз по реципрочната стойност на 3/2, която е 2/3. Насърчавам те да провериш, че производната на 2/3 по u на степен 3/2 наистина е равна на u на степен 1/2. Това е, което се получава. Тъй като умножаваме по 1/7 целия този интеграл, може да прибавим и една константа C ето тук. Възможно е тук да има константа. Може и да разкрием скобите и да умножим с числото 1/7. Получава се 1/7 по 2/3 – което е равно на 2/21 – по u на степен 3/2. А 1/7, умножено по произволна константа, отново ще бъде някаква произволна константа. Мога да я запиша и ето така. Тази да означа с C1, а тази с C2, но наистина това е просто някаква константа. И сме готови! О, всъщност не сме готови. Все още имаме целия този израз като функция на u. Нека да заместим положеното за u. Целият този израз е равен на 2/21 по u на степен 3/2. Знаем на какво е равно u. u е равно на 7х плюс 9. Нека да използвам друг цвят, за да се отличава. Получава се 2/21, умножено по 7х плюс 9, на степен 3/2, плюс C. И вече сме готови! Успяхме да решим този страховито изглеждащ интеграл, и въпреки че не беше напълно очевидно в началото все пак да открием и приложим интегриране със заместване.