Интегриране чрез заместване: дефиниране на 𝘶 (примери)

В настоящия урок ще се упражняваме да разпознаваме кога да използваме интегриране със заместване и да избираме подходящ израз за u. Нека е даден неопределеният интеграл от натурален логаритъм от х на десета степен. Всичко това е върху х, dx. Приложимо ли е тук интегриране със заместване и ако да, то как ще го приложим? Ключовото нещо за интегриране със заместване е да открием имаме ли дадена функция и нейната производна. Тук веднага може да се досетиш, че производната на натурален логаритъм от х е равна на 1/х. За да стане малко по-ясно, мога да запиша интеграла по следния начин. Интеграл от натурален логаритъм от х на десета, умножено по 1/х, dx. Ето сега вече се вижда. Имаме някаква функция, т.е. натурален логаритъм от x, която е повдигната на десета степен. Имаме обаче и производната ѝ ето тук, която е равна на 1/х. Следователно може да използваме заместваме. Може да изберем u да е равно на натурален логаритъм от х. Причината да избера натурален логаритъм от х е, че виждам ето този израз, който е точно производната му. Нещо близко до производната му, а в този случай дори точно производната му. След това мога да запиша du/dx е равно на 1/х. Което означава, че du е равно на 1/x, dx. Ето, че заместихме. Този израз тук е du, а този ето тук, е равен на u. Тогава даденият интеграл се опростява до интеграл от u на десета степен, умножено по du. Сега ще изчислим на какво е равен интеграла, т.е. ще намерим примитивната му функция. След това ще заместим обратно u с натурален логаритъм от х, за да изчислим първоначалния интеграл. Нека да решим друг пример. Нека да кажем, че е даден интеграл от следното нещо. Нека да направим нещо интересно тук. Нека е даден интеграл от тангенс от х, dx. Приложимо ли е интегриране със заместване тук? На пръв поглед забелязваш, че имаме само тангенс от х. А къде е производната му? Интересното нещо обаче, което може да направим, е да запишем функцията тангенс, изразена чрез синус и косинус. Следователно записваме израза като интеграл от синус от х, върху косинус от х, dx. Може би сега ще попиташ: "А как да приложим интегриране със заместване тук?". Има няколко начина, по които да се разглежда. Може да кажем, че производната на синус от х е косинус от х. Сега обаче делим на производната, а следва да умножаваме по нея. По-интересното обаче е, че производната на косинус от х е равна на минус синус от х. Нямаме минус синус от х тук, но може да преобразуваме малко дадения израз. Може да умножим два пъти по минус 1. Може да кажем, че имаме минус от минус синус от х – като избирам единия минус да е изнесен пред интеграла, защото това следва директно от свойствата на интегрирането. Това е еквивалентен израз на дадения. Мога да запиша минус извън интеграла и минус под интеграла, така че числителят да е равен на производната от косинус от х. Сега има нещо интересно. Нека всъщност да запиша интеграла ето така. Това ще бъде равно на минус интеграл от 1 върху косинус от х, умножено по минус синус от х, dx. А сега досещаш ли се с какво можем да положим (заместим) за u? Имам косинус от х в знаменателя, а имам и производната му. Тогава какво ще се получи, ако избера u да е равно на косинус от х? u е равно на косинус от х. Тогава du/dx ще бъде равно на минус синус от х. Следователно du е равно на минус синус от х, dx. Ето така се получава, че имаме du ето тук, а ето това разбира се, е избраният израз за u. И сега целият интеграл се опростява. Равно е на минус неопределен интеграл от 1/u, умножено по du. Което е много по-лесен за решаване интеграл. След като го решим, ще заместим обратно u с косинус от х.