Въведение в полиномите на Тейлър и Маклорен (част 2)

В последните няколко видео клипа научихме как да апроксимираме произволна функция, но функция, която е диференцируема и даже два пъти и три пъти диференецируема и така нататък. Как да апроксимираме функция около х = 0 с използване на полином. Ако започнем с полином от нулева степен, който е просто константа, можем да я апроксимираме чрез хоризонтална права, която преминава през тази точка. Но това не е добра апроксимация. Ако имаме полином от първа степен, можем да намерим поне наклона в тази точка. Ако имаме полином от втора степен, можем да намерим крива, която следва функцията малко по-добре. Ако имаме полином от трета степен, ще имаме крива, която доближава функцията даже още по-добре от това. Но всичко е фокусирано около апроксимацията на функцията около х = 0. Затова го наричаме "ред на Маклорен" или "ред на Тейлър за х = 0". Сега искам да разширим това малко, да го обобщим и да се фокусираме върху ред на Тейлър за произволно х. Да кажем, че искаме да апроксимираме функцията, когато х е... това е оста х – когато х е равно на с. Можем да направим абсолютно същото нещо. Можем да кажем, че първото ни приближение е това, когато полиномът за с е равен на... даже нека да подобря това – нашият полином просто е... ако той е просто константа, той трябва да е равен най-малкото на стойността на функцията в точката х = с. Значи е равен на f(c), като f(с) е константа. Това е тази стойност ето тук. Предполагаме, че с ни е дадено. И после ще имаме... това е просто хоризонтална права, която преминава през с. Това е р(х) = f(с). Не е добро приближение но тогава можем да опитаме да имаме съвпадение с тази константа, плюс съвпадение с производната. Това ограничение ни дава... само да припомня – това ни дава факта, че поне р(с) приближението на с, нашият полином за с е равен поне на f(с), нали? Ако заместим тук с "с", не се променя това, което е отдясно, защото това е просто константа. Сега да разширим условието с още една стъпка. Ако искаме ситуация, в която това е изпълнено, и искаме производната на нашия полином да бъде равна на производната на функцията, когато и двете са изчислени за с. В тази ситуация, ако направим нашия полином... И тук ще видиш пълно съответствие с предходните видеа. Само променяме точката, тя не е 0. Сега да дефинираме р(х) да е равно на f(c) + f'(c). Какъвто и да е наклонът в тази точка на функцията, какъвто и да е наклонът на функцията, по... и сега тук ще видиш нещо малко по-различно – х – с. Да помислим какво означава това –с. Да проверим първо, че не сме объркали предишното ни условие. Да сметнем това за с. Сега знаем, че това р(с)... Ще използвам конкретен пример – значи р(с)... ще използвам нов цвят. Ще пробвам този. Значи р... това не е нов цвят. р(с) ще бъде равно на f(c) + f'(с) по с минус с. Навсякъде заместваме х със "с". Тук е с – с. Значи това тук в скобите става 0. Целият този член е нула. И така ни остава само р(с) е равно на f(с). Тук ни остава само това условие. Единствената причина да се отървем от втория член тук е защото имахме f'(с) по (х – с). (х – с) анулира всички членове след това. Сега можем да проверим дали това е вярно. Да проверим: р'(х) е равно на производната на това, която е просто нула, защото това е константа, плюс производната на това тук. И колко ще бъде това? Това ще е равно на... можем да разложим това като f'(с) по х, минус f'(с) по с, което е просто константа. Ако намерим производната на това нещо тук, ще ни остане само f'(с). Значи производната на нашия полином сега е константа. Очевидно, ако трябваше да сметнем това за с, р'(с), ще получим f'(с). Отново, това съответства на второто условие. И сега, когато имаме тези два члена, може би апроксимацията ще изглежда горе-долу така. Поне ще има правилният наклон като f(х). Нашето приближение става малко по-добро. И ако продължим да правим това – като използваме същата логика, която използвахме за 0, когато съставихме реда на Маклорен, ще получим общия ред на Тейлър за приближение на стойността на f(х) около точката с, което е този полином. Полиномът р(х) ще бъде равен на... Просто ще го развия. Това много прилича на видяното преди. f(с) + f'(с).(х – с). Можеш даже да се досетиш какви ще са следните членове. Логиката е съвсем същата. Гледай клиповете за ред на Маклорен, където добавям още няколко члена към полинома. Той става малко по-сложен, като добавим втора и трета производна и всичко останало, само защото разлагаме тези двучлени, но логиката е съвършено същата. След това имаме плюс члена от втора степен, f''(с), делено на 2 факториел. Това е същото, което видяхме при реда на Маклорен. И искам да поясня, че това тук долу можеш да представиш като 1 факториел. Аз не си направих труда да го напиша, защото не променя стойността. После това умножаваме по (х – с)^2 плюс третата производна на функцията за с върху 3 факториел по (х – с)^3. Мисля, че схващаш принципа. Можеш да продължиш да добавяш още и още членове по този начин. За жалост това става малко по-трудно, особено ако искаш да ги сметнеш. Не е толкова зле, но вместо да имаш само х тук, вместо да имаш просто х^2, имаш (х –с)^2 и имаш (х – с)^3, което прави аналитичната математика малко по-тежка и по-трудна. Но това е по-добро приближение на нашата функция, което става все по-добро с добавянето на нови и нови членове, за произволна стойност на х, за разлика от случая с х = 0. В следващото видео ще направя демонстрация с WolframAlpha.